ТЕМА
Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Разработал к.т.н. Никаноров В.Б.
Разработал Никаноров В.Б. |
2 |
1.Преимущества
1.Источники переменного тока (электромеханические генераторы) основные источники энергии в технике. Они могут быть выполнены очень большой мощности – до 100… 1500 МВт.
2.Переменный ток проще трансформировать (изменять уровень), что необходимо для его экономичной передачи при высоком уровне напряжения (до 750 кВ) на большие расстояние. Трансформатор.
3. ЭТУ и электрические машины переменного тока проще и дешевле, чем ЭТУ постоянного тока.
Разработал Никаноров В.Б. |
3 |
2. Величины, характеризующие синусоидальные функции
• |
Мгновенные значения |
|
• |
i(t) = Im∙sin(ωt+ i) |
|
• |
u(t) = Um∙sin(ωt+ u) – |
|
• |
Определяются 3 параметрами: |
|
|
амплитудой Im и Um – макс. значение; |
|
|
угловой частотой ω [1/c] – скорость |
|
|
изменения аргумента; |
– значение |
начальной фазой i и u |
||
|
аргумента при t=0. |
|
Кроме того используют величины:
1.Т – период – время одного полного колебания [c]. 2. f = 1/T – частота – число периодов в 1 с [Гц].
Стандартная f=50 Гц. Используют высокие частоты - 200, 400, 500, 1000 Гц и т.д.
3. ωt+ -[рад] - фаза – характеризует состояние колебания
(числовое значение) в данный момент времени.
Разработал Никаноров В.Б. |
4 |
4. = u - I – фазовый сдвиг между u и i. |
|
5. Действующее значение I (U, E) – среднеквадратичное
значение переменной величины за период Т – численно равно такому постоянному току, который в течение Т производит такое же тепловое (механическое) действие, что и переменный ток.
• При протекании постоянного тока в R за время Т
выделяется энергия (пропорциональная заштрихованной площади)
W_ = I2∙R∙T
• На переменном токе за Т
W 0T i2 Rdt 0T Im2 Rsin2 tdt Im2 R 0T 0.5(1 cos2 t)dt Im2 R T / 2
Приравняв, получим действующее значение переменного |
||||
тока I Im |
2 |
U Um 2 |
E Em |
2 |
•Действующий I(U) - основной эксплуатационный параметр – указаны в паспорте ЭТУ. Шкалы большинства измерительных приборов проградуированы на действующие значения.
6. Среднее за полпериода значение
Icp = 2∙Im/ = 0,9∙I |
Разработал Никаноров В.Б. |
5 |
|
|
3.Три формы представления синусоидальных функций
в виде аналитических выражений;
при помощи векторов;
в виде комплексных функций (комплексных чисел).
•3.1. Аналитическое представление
•i = Im∙sin(ωt+ i);
•Неудобно - алгебраические действия с тригонометрическими функциями приводят к громоздким выражениям.
Разработал Никаноров В.Б. |
6 |
|
3.2.Векторное представление |
|
|
||||
|
позволяет наглядно показать количественные и |
||||||
|
фазовые соотношения. |
|
|
|
|
||
|
При известной частоте синусоидальной величины |
|
ее |
||||
|
действие определяется только амплитудой Im |
и |
|||||
|
начальной фазой ( i). |
|
|
|
|
||
|
Вектор также характеризуется амплитудой (модулем) и |
||||||
|
фазой. |
|
|
|
|
|
|
|
На этом основано векторное представление. |
|
|
||||
В прямоугольной системе координат откладываем вектор |
|||||||
Im(Um) |
|||||||
Его длина в масштабе равна амплитуде (действующему значению), |
|||||||
угол поворота относительно оси Х - начальной фазе: |
|
|
|||||
y |
Um |
= u - I откладывается от I к U |
|
|
|||
|
|
•«+» и φ - против часовой стрелки, «-» по |
|||||
|
часовой стрелке. |
|
|
||||
|
Im |
•Связь между аналитическим и векторным |
|||||
|
u |
||||||
|
|
представлением – проекция вращ вектора со |
|||||
|
i x |
скоростью ω на ось Y |
|
|
|||
|
Векторная диаграмма – совокупность |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
векторов I |
,U |
, E в общей системе координат |
|||
|
для t = 0.Разработал Никаноров В.Б. |
|
7 |
||||
|
Недостаток – сложность операций с векторами |
|
|||||
3.3. Представление комплексными числами
Математические операции с векторами упрощаются, если вектор изобразить на комплексной плоскости с осями координат: +1- ось действительных чисел и +j - ось
мнимых чисел. j 
1 Мнимая единица
Точка на комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом
Алгебраическая |
форма |
Тригонометрич |
форма |
Показательная |
форма |
где Umb - координата точки по оси +1; UmM- по оси +j. |
|||||
Um |
(Umв2 Umм2 ) |
модуль вектора |
|||
|
u = arctg (Umм/Umв) Фаза вектора |
|
|||
|
Формула Эйлера: cos + jsin = ej |
|
|||
|
e |
- оператор поворота (относительно оси +1) |
|||
|
• |
j |
|
|
|
|
Umв = Re(Um) –действительная часть |
|
|||
|
• |
|
Разработал Никаноров В.Б. |
|
8 |
|
• |
|
|
||
|
Umм = Im (Um) – мнимая часть |
|
|||
Алгебраическая и тригонометрическая формы удобны для сложения и вычитания к.ч.
Показательную форму используют при умножению
иделении к. ч.
При = 0 
= /2 
= - /2
I |
I |
2 |
I |
jI |
(I |
2b |
jI |
2M |
) |
|||
1 |
|
1b |
1M |
|
|
|
|
|||||
(I1b I2b) j(I1M jI2M ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
j U |
U |
j( |
) |
U |
|
j |
|||
|
U |
Ue |
U I |
|
||||||||
|
I |
|
j |
I e |
I |
e |
|
|
||||
Ie |
I |
|
φ = ψu ± ψi |
||
|
||
|
U совпадает с I |
|
|
U опережает I |
|
|
U отстает от I |
Умножение на j – поворот вектора против час стрелки на 90 град
Умножение на -j – поворот вектора по час стрелке на 90 град
Сопряженные комплексные числа – отличаются знаком перед мнимой частью или знаком перед начальной фазой:
А=а+jв и сопряженное ему А*=а-jв
Произведение АА*=(а+jв)∙(а-jв)=а2Разр ботал+jавНиканоров-jав-(j2)в2=В.Б. а2+ в2 – действит9 .
Используют для освобождения от к.ч. в знаменателе выражения.
|
5.Комплексная амплитуда и комплексные |
||||||||||||
|
|
|
|
|
значения |
|
|
|
|
||||
• |
Комплексная амплитуда |
|
|
|
j i |
|
j u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um e |
||
|
Комплексное значение |
|
|
|
Im Im e |
|
Um |
||||||
• |
|
|
|
j i |
|
Um |
j u |
||||||
|
(комплекс тока, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|||||
|
напряжения и т.д.) |
|
|
|
|
2 I e |
|
2 U e |
|||||
|
|
|
|
I |
U |
||||||||
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дан ток i = 8sin(ωt + 20˚). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Записать комплексную амплитуду и комплекс тока. |
||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Im = 8 A, i = 20˚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. I = Im/√2 = 8/ √2 A – действующее значение тока |
||||||||||||
|
|
|
j20 |
|
|
|
|
j20 |
|
|
|
|
10 |
|
8e |
|
|
8Разработал Никаноров В.Б. |
|
|
|||||||
|
3. Тогда Im |
|
;I |
|
2e |
|
|
|
|
|
|
||
|
6. Пассивные элементы в ЭЦ переменного |
|||||||||||||||||||||
|
6.1. Резистор |
|
|
|
|
тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• |
Ток |
i = Im∙sin(ωt + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
Падение напряжения на R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
• |
ur = i∙R = R∙ Im∙sin(ωt + i) = Urm ∙sin(ωt + u) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u = i = u - i = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
Ток в R совпадает по фазе с напряжением |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• |
Urm |
= R∙ Im Ur = R∙ I - соотношение между |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
амплитудными и действующими значениями |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
e |
U |
I Ie |
I |
|
|
|
|
|||
|
подчиняется закону ОмаU |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
• |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В комплексной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
U |
e |
U |
Ur |
j( U I ) |
|
Ur |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ur |
r |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||||||||
|
I |
Ie j I |
|
I |
e |
|
|
|
I e |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
Ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Закон Ома |
|
|
|
R |
p u |
|
i |
U |
|
sin t I |
|
sin t U |
|
I |
|
sin 2 t |
||||||
• |
|
|
|
|
|
|
r |
|
m |
rm |
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rm |
|
|
|
|
|
|
||||||
Мощность |
|
|
|
|
0.5 Urm Im (1 cos 2 t) Ur I Ur I cos 2 t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Средняя мощность за период – активная мощность
P = Ur∙I= Ur2/R = I2R
Разработал Никаноров В.Б. 11