4. Динамика идеальной и вязкой жидкости

Гидромеханикой называется наука о законах движения жидко­сти и о применении этих законов для решения технических задач.

Жидкость представляет собой сплошную среду, обладающую свойством текучести.

Текучесть — свойство сплошной среды изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил.

Под действием собственного веса жидкость течет, если ей пре­доставляется возможность. Ее текучесть ограничивается вязкостью. Все реальные жидкости являются вязкими.

Вязкость — свойство жидкости сопротивляться сдвигу или сколь­жению ее слоев относительно друг друга.

В механическом смысле вязкость отвечает за трение в жидко­сти, т.е. приводит к безвозвратной потере, запасенной в движущей­ся жидкости механической энергии.

Рассмотрим движение слоя вязкой жидкости в направлении X относительно неподвижной стенки, лежащей в плоскости ZOX

Если построить в масштабе вектора скоростей частиц жидкости, двигающихся в слоях через точки 1+5, и соединить концы векторов плавной линией, то мы получим эпюру скоростей. Согласно гипо­тезе Ньютона, которая блестяще была подтверждена опытами Ку­лона, а в 1883 году теоретически обоснована Н.П. Петровым, вели­чина касательного напряжения между слоями пропорциональнаградиенту скорости в поперечном направлении:

, где - градиент скорости (элемент тензора скоростей деформаций);- динамический коэффициент вязкости, являющейся физической характеристикой жидкости.

Динамический коэффициент вязкости имеет следующие раз­мерности: в системе

СИ –; в СГС -или Пуаз (Пз).

Широко используется кинематический коэффициент вязкости:

,

где - плотность жидкости.

Размерность : в системе СИ -; в СГС- или сток (ст).

Соотношение между единицами вязкости следующее:

Вязкость жидкостей уменьшается с ростом температуры соглас­но формуле:

где и- вязкость жидкости при температуре Т и Т₀ соответственно; - коэффициент, значение которого для масел колеблется в пределах 0,020,03

Жидкость выдерживает без существенного изменения ее фи­зических свойств большие сжимающие усилия, но неспособна со­противляться растягивающим усилиям.

Интеграл Бернулли для идеальной жидкости

Для получения уравнения, позволяющего решать технические задачи гидромеханики, получим выражение интеграла Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости. Интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии. Рассмотрим следующую модель идеальной жидкости:

1. Жидкость идеальная, поэтому = 0.

2. Движение жидкости установившееся: .

3. Объемные силы принадлежат потенциальному полю сил, т.е. F_об = grad U, где U — потенциал поля объемных сил.

4. Жидкость баротропна, т.е. плотность является функцией дав­ления и существует функция давления, дифференциал ко­торой равен:

Рассмотрим линию тока, по которой движется частица жидко­сти. Перемещение частицы за промежуток времени dt будет равно отрезку

или

Уравнение движения частицы при сделанных выше допущени­ях будет уравнением Эйлера:

Домножим скалярно левую и правую части уравнения (7.18) на перемещение dl:

Подставив полученные выражения в уравнение, получим:

или

откуда следует, что сумма

является величиной постоянной на данной линии тока, на другой линии тока величина постоянной будет уже другой.

Выражение является интегралом Бернулли. Уравнение представляет собой соотношения между приведенными си­лами, но, умножив их скалярно на перемещение dl, получили зна­чения приведенных энергий или работ этих сил, сумма которых на линии тока остается постоянной при движении идеальной жидкости по данной линии тока.

Пусть жидкость движется в поле сил тяжести земли, т.е. U = — gz, где g — ускорение свободного падения и ось Z направлена от центра земли, а плотность р = const, тогда

Умножив (7.21) на элемент массы dm = pdV, получим:

Выражение в явном виде показывает сумму энергий: кинетическая - энергия сил давления –pdV; энергия поля сил тяжести – dm g я

Уравнение Бернулли в напорах

В гидравлике принято удельную энергию выражать в напорах. Так, разделив на единицу веса частицы dm-g, получим соот­ношение энергий в метрах, которое называется полным напором в струе:

где -скоростной напор (м), мера кинетической энергии; -пьезометрический напор (м) — мера энергии сил давления; z — гео­метрический напор (м) — мера энергии поля сил тяжести.

Рассматривая течение идеальной жидкости в трубопроводе, можно записать равенство полных напоров для двух сече­ний движущейся струи идеальной несжимаемой жидкости:

Выражение представляет собой уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Величины Z, и Z₂ в выражении есть расстояния от центров сечений струи до произвольно выбираемой плоскости, параллель­ной поверхности земли и называемой плоскостью сравнения.

Добавляя к уравнению Бернулли уравнение неразрывнос­ти для неразветвленных трубопроводов:

или

где — скорости жидкости в сечениях 1 — 1 и 2 — 2 соответствен­но; d,, d₂ — диаметры сечений трубопровода; Q — объемный рас­ход жидкости в трубопроводе, мы получаем систему из двух необ­ходимых уравнений для решения задач гидравлики при течении иде­альной баротропной жидкости.