Основные понятия и определения сплошной среды 2

Кинематика сплошных сред 3

Скалярное поле 3

Свойства вектора градиента 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 5

ЦИРКУЛЯЦИЯ 5

Свойства линии тока 6

Расход сплошной среды через поверхность 6

1.3. Определение наличия источников и стоков 7

1.4. Определение параметров вращательного движения 8

1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба 8

II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО 11

И НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ АБСОЛЮТНО 11

УПРУГОГО ТЕЛА 11

2.1. Постановка задачи 11

2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела 11

2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела 13

Основные понятия и определения сплошной среды

Сплошная среда (С С) – это физическая среда в любом фазовом состоянии (твердое, жидкое, газообразное, плазма и т.д.), в каждой точке которой существует функция плотности — р(х,у,z,t) и ее первая производная.

(Пример несплошной среды — кипящая жидкость, т к. существу­ет скачок плотности на границе жидкость-пар пузырька, и первой производной функции плотности не существует.)

Плотность p(x,y,z_rt) — масса среды в единице объема. Значение плотности среды в окрестности точки неподвижного пространства определим формулой

где Δm — масса среды, заключенная в объеме ΔV в окрестности дан­ной точки.

Плотность среды зависит от температуры

где ρ₀ — плотность среды при начальной температуре; Δt — измене­ние температуры; β_t — коэффициент температурного расширения

,равный относительному увеличению объема среды при повышении температуры на один градус при неизменном давлении. (Например, для воды приПлотность среды зависит от давления

где ρ₀ — плотность при начальном давлении; ΔР — разность между новым и начальным давлением; β_р— коэффициент объемного сжатия , равный относительному уменьшению объема при повышении давления на единицу. Величина, обратная β_р, но­сит название модуля упругости

Частица сплошной среды — это мысленно выделяемый объем сплошной среды, который бесконечно мал по отношению ко всему объему сплошной среды и бесконечно велик по отношению к раз­мерам атомов сплошной среды.

Для количественного описания механических характеристик сплошной среды необходимо задавать неподвижную систему ко­ординат, масштаб в которой и направление осей задается тремя еди­ничными векторами i — вдоль оси X, j — вдоль оси Y и k — вдоль оси Z, причем | j | = |j | = | k | = 1. Мы будем использовать Декартову систему координат, в которой единичные вектора i , j , k взаимно перпендикулярны (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Частица сплошной среды

Кинематика сплошных сред

В данном разделе мы будем изучать движение сплошных сред без учета инерционных свойств сплошной среды и причин (сил), вызывающих это движение.

Существуют два исторически сложившихся метода изучения движения сплошных сред. Это методы Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа. В этом методе отмечается частица в началь­ный момент движения и исследуется ее движение в пространстве и времени вдоль ее траектории. В качестве метки частицы принима­ются ее координаты в момент времени t = 0, т.е. x_q, y₀, z_q (см. рис. 11). Координаты частицы являются функциями времени.

Фактически переменными Лагранжа мы пользовались при изу­чении теоретической механики, где координаты точки центра масс твердого тела являлись функцией времени при координатном спо­собе задания движения.

Но этот метод оказался неудобен при рассмотрении движения сплошной среды, т.к. для получения представления о движении всей среды необходимо рассматривать движение бесконечного множе­ства частиц, из которых состоит сплошная среда.

Метод Эйлера. В этом методе фиксируется не частица, а точка неподвижного пространства (например М(х₀, у₀, z₀)), и исследуют­ся кинематические характеристики движения (скорости, ускоре­ния и т.д.) частиц, пролетающих через эту точку.

Движение в методе Эйлера задается вектор-функцией поля ско­ростей:

V(x,y,z,t)= i V_x(x,y,z,t)+ jV_y(x,y,z,t) + kV_z(x,y,z,t), (1.4)

где V_x, V_y , V_z — переменные Эйлера, т.е. функции проекции V на соответствующие оси координат.

Мы, если не будет оговорено особо, будем исследовать стацио­нарные поля скоростей, т.е. не зависящие от времени

Для того чтобы определить вектор скорости частиц сплошной среды, пролетающих через заданную точку пространства, необхо­димо просто подставить координаты этой точки пространства в (1.4). Для построения вектора скорости надо отложить найденные про­екции в выбранном масштабе от данной точки и сложить их.

Очевидно, что вектор-функция (1.4) позволяет определить век­тор скорости в любой точке пространства, где эта функция V су­ществует. Правда, если в методе Лагранжа ускорение частицы оп­ределяется простым дифференцированием функций координат, то в методе Эйлера определение поля ускорений сложнее:

Следует также отметить, что методы Лагранжа и Эйлера экви­валентны, т.е. физический результат не зависит от выбора метода описания сплошной среды.

По аналогии с выше сказанным можно таким же образом задать и другие поля векторных величин. Например поле сил, поле угло­вых скоростей и т.д.