7.4. Метод секущих
Вновь начнем с геометрической иллюстрации (рис.7.5). В этом методе очередная итерация выполняется на основании двух предыдущих приближений.
Д
ля
запуска процесса выбираются две точки,
ограничивающую область, в которой ищется
корень:
и
.
Далее точки графика функции
,
соответствующие этим значениям аргумента,
соединяются прямой.
Точка пересечения прямой с осью абсцисс и является очередным приближением.
Далее определяется, на каком из двух отрезков ([a,c] или [c,b]) происходит перемена знака . (В случае, приведенном на рисунке: [c,b]).
После этого действия повторяются. Итерации продолжаются до тех пор, пока величина выделенного отрезка не станет меньше заданного значения точности.
Для получения
формулы, определяющей этот метод, вновь
воспользуемся геометрическими
соображениями. Уравнение прямой,
проходящей через точки
и
:
(7.9)
Отсюда следует,
что значение
,
при котором
:
(7.10)
Следует заметить,
что формулу (7.10) можно получить из
уравнения для метода касательных (7.8).
Для этого достаточно в (7.8) вместо
производной
подставить ее приближенное разностное
представление:
Метод секущих сходится медленнее, чем метод касательных. Однако он менее чувствителен к выбору начальных приближений.
Литература
7.1. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений . – М.: Наука, 1986. – 288 с.
7.2. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. – М.: Мир, 1998. – 575 с.
7.3.Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1972. – 400 с.