2. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Для статических систем управления этот критерий формулируется следующим образом:

• если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система также устойчива при условии, что годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охватывает точку ;

• если разомкнутая система не устойчива и имеет l правых корней, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, при изменении частоты от от 0 до , охватывал точку комплексной плоскости в положительном направлении l/2 раз.

Если в состав системы управления входит интегрирующих звеньев, то такая система называется астатической с порядком астатизма . Комплексный коэффициент таких систем имеет вид:

При частоте равной он обращается в бесконечность.

Поэтому для оценки устойчивости астатических систем с порядком астатизма необходимо годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки в направлении положительной вещественной полуоси до пересечения с ней.

Для астатических систем управления частотный критерий Найквиста формулируется следующим образом:

• если разомкнутая система не имеет правых корней, то замкнутая система устойчива, когда годограф амплитудно-фазовой характеристики, дополненной дугой - бесконечно большого радиуса, не охватывает точки ;

• если разомкнутая система имеет l правых корней , замкнутая система устойчива, когда годограф амплитудно-фазовой характеристики охватывает точку l/2 раз.

По частному случаю частотного критерия Гурвица для системы третьего порядка: , , делаем вывод, что разомкнутая система устойчива.

Из комплексного коэффициента передачи

выделим мнимую и вещественную частотные характеристики

Замкнутая система является неустойчивой, т.к. годограф Найквиста для разомкнутой системы, представленной передаточной функцией , являющейся устойчивой, охватывает точку (-1;j0).

Годограф, построенный на миллиметровой бумаге приведен в приложениях (приложение 2).

1.4. Логарифмические частотные характеристики. Проверка запасов устойчивости системы.

Комплексный коэффициент передачи сложной системы может быть представлен в виде произведения:

где комплексные коэффициенты передачи элементарных звеньев.

Для амплитудных и фазовых частотных характеристик справедливо:

Логарифмируя, получим:

где

Из приведенных выше формул следует, что логарифмические фазовые и амплитудные частотные характеристики сложных систем получаются при суммировании соответствующих характеристик элементарных звеньев.

Передаточная функция разомкнутой системы

1 )

2 )

- апериодическое звено с наклоном

3 )

- апериодическое звено с наклоном

4 )

- апериодическое звено с наклоном

Система неустойчива, так как и не имеет смысла говорить о запасах устойчивости.

Построение асимптотических логарифмических характеристик прилагаю на миллиметровой бумаге (приложение 3)

1.5. Построим переходную характеристику нескорректированной системы автоматического регулирования при помощи обратного преобразования Лапласа.

*

*+

+