Лекція №5 (2 год.)

ТЕМА: Теза Чорча. Зв'язок рекурсивних функцій з машиною Тьюринга

МЕТА:  

навчальна: ознайомитись з тезою Чорча, визначити зв'язок між рекурсивними функціями та машиною Тьюринга;

розвиваюча: розвивати алгоритмічне мислення;

виховна: виховувати інтерес до теорії алгоритмів.

ОБЛАДНАННЯ: дошка

ПЛАН

1 Теза Чорча

2 Теорема про співпадання класів частково-рекурсивних і обчислювальних функцій за Тьюрингом

Зміст лекції

1 Теза Чорча

Існує обґрунтована теза Чорча по відношенню до рекурсивних функцій: клас обчислюваних функцій співпадає з класом частково-рекурсивних функцій.

Довести цю тезу неможливо через те, що рекурсивність – це уточнення інтуїтивного поняття, а обґрунтовано воно тим, що всі існуючі алгоритми визначені як схеми обчислення деяких рекурсивних функцій. Тезу можна тільки заперечити, якщо знайдеться алгоритм, для якого не можна буде знайти рекурсивну схему.

Теза Черча — твердження, згідно з яким, клас алгоритмічно-обчислюваних функцій збігається з класом частково-рекурсивних функцій, функцій обчислюваних за Тюрінгом та інших формальних уточнень інтуїтивного поняття алгоритм. З неї випливає, що якщо функція належить до класу певної формалізації алгоритмічно-обчислюваної функції, то вона є алгоритмічно-обчислювана. Теза не доводиться. А еквівалентність класів формалізмів підлягає доведенню, що і було зроблено. Названа на честь американського математика Алонзо Черча.

Як практичний результат можна відзначити встановлення обчислюваності довільної функції (х) за допомогою її побудови як рекурсивної функції.

Класи частково-рекурсивних функцій і функцій, що є обчислюваними за Тьюрінгом співпадають. Оскільки ми вже маємо два способи уточнення обчислюваності: за Тьюрінгом та рекурсією, то можна проаналізувати ці два способи на предмет еквівалентності. Доведено, що все те, що можна виразити у вигляді вираховного за Тьюрінгом, можна обчислити за допомогою рекурсії і навпаки. Рекурсивні функції – апарат, який найчастіше використовується для встановлення обчислюваності і розв`язності.

Теза Чорча-Тьюринга - фундаментальне евристичне твердження, істине для багатьох областей науки, в тому числі, для математичної логіки, теорії доказів, інформатики, кібернетики, що дає інтуїтивне поняття про обчислюваність. Це твердження було висловлено Алонзо Черчем і Аланом Тьюрингом в середині 1930-х років.

У термінах теорії рекурсії це твердження формулюється як збіг класів обчислюваних і частково-рекурсивних функцій. У цьому формулюванні часто згадується як просто теза Черча. У термінах обчислюваності за Тьюрингом теза говорить, що для будь-якої інтуїтивно обчислюваної функції існує машина Тьюринга. З причини того, що класи частковообчислюваних за Тьюрингом і частково-рекурсивних функцій збігаються, твердження об'єднують у єдину тезу Чорча-Тьюринга.

Теза Чорча-Тьюринга неможливо строго довести або спростувати , оскільки він встановлює еквівалентність між строго формалізованим поняттям частково обчислюваної функції і неформальним поняттям обчислюваності.

Пізніше були сформульовані інші практичні варіанти твердження:

• фізична теза Чорча-Тьюринга: будь-яка функція, яка може бути обчислена фізичним пристроєм, може бути обчислена машиною Тьюринга;

• сильна теза Чорча-Тьюринга (теза Чоча-Тьюринга-Дойча): будь-який кінцевий фізичний процес, який не використовує апарат, пов'язаний з неперервністю і нескінченністю, може бути обчислений фізичним пристроєм.