4 Метод дотичних (Ньютона)

Ідея методу полягає в послідовній заміні ділянки кривої (х) дотичною в точці с, що належить відрізку [a;b] і перетинає вісь ОХ в точці х_к. Точка с вибирається з умови: (с)*//(с)>0, яка гарантує збіжність процесу. При цьому необхідно, щоб

(х)=0 мало єдиний корінь на [a;b];

(х) була неперервна на [a;b].

Загальна формула

УЗАГАЛЬНЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ: метод половинного поділу, метод хорд, метод дотичних

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: написати програму для реалізаці одного з методів (метод на вибір студента)

ВИКЛАДАЧ – В.А. Данилова

Лекція №15 (2 год)

ТЕМА: Інтерполяція функцій. Чисельне диференціювання

МЕТА:  

навчальна: ознайомитися з поняттями апроксимації та інтерполяції, вчитися будувати багаточлен Лагранжа;

розвиваюча: розвивати логічне мислення;

виховна: інтерес до точних наук.

ОБЛАДНАННЯ: дошка

ПЛАН

1 Математична постановка задачі інтерполяції

2 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

3 Точкова апроксимація

Зміст лекції

1 Математична постановка задачі інтерполяції

Інтерполяція – підхід, за допомогою якого отримують аналітичні залежності табличних функцій за умови, що аналітична функція   повинна проходити через всі задані експериментальні точки.

Апроксимація – підхід, за допомогою якого знаходиться аналітична функція  , що “найкращим чином” наближається до заданої табличної функції. Звичайно “найкращим чином” – критерій, в якості якого використовується критерій середньо квадратичного відхилення (СКВ), заснований на тому, що сума квадратів відхилень аналітичної функції від експериментальної   (при і=0, 1, …, k) повинна бути мінімальною:

В економіці і техніці постійно приходиться зіштовхуватися з необхідністю обчислення значень функції y=f(x) в точках  , відмінних від значень аргументу, фіксованих в таблиці експериментальних досліджень. Крім того, в деяких випадках, незважаючи на те, що аналітичний вираз функції y=f(x)  відомий, він є занадто складним і незручним для подальших математичних перетворень. Подібні задачі формалізуються як задачі інтерполювання.

Н ехай на відрізку [a;b] функція y=f(x)  задана системою точок  де значення   називаються вузлами інтерполяції. Необхідно знайти аналітичну залежність  , співпадаючої у вузлах інтерполяції зі значеннями заданої функції, тобто  Процес обчислення значень функції  в точках  , відмінних від вузлів інтерполяції, називають інтерполюванням функції f(x).

Якщо аргумент   знаходиться за межами відрізка інтерполювання  , то задача визначення значення функції  в точці  називається екстраполюванням.

Задача інтерполювання стає однозначною, якщо в якості функції вибрати багаточлен   степені не вище n, такий, що  . Багаточлен  , що задовольняє цим умовам, називають інтерполяційним багаточленом, а відповідні формули – інтерполяційними формулами.

2 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Нехай відомі значення деякої функції f(x) у (n+1)-й різних точках  .

Ці значення можуть бути отримані експериментально або знайдені за допомогою обчислень.

Виникає задача знаходження значення функції у довільній точці  . Часто для розв’язання цієї задачі використовується алгебраїчний багаточлен Ln(x) ступеню n, який в точках приймає ті ж самі значення, що і функція f.

Такий багаточлен називається інтерполяційним багаточленом, а точки   - вузлами інтерполяції.

Наближене обчислення функції f за формулою f(x)=Ln(x) називається інтерполяцією функції f за допомогою алгебраїчного багаточлена Ln(x). Якщо точка, в якій треба знайти значення функції f, розташована за межами мінімального відрізку, що містить всі вузли інтерполяції , то заміну функції f називають екстраполяцією.

Теорема. Існує єдиний інтерполяційний багаточлен порядку n, що задовольняє умові.

З властивостей багаточленів слідує, що багаточлен, який перетворюється в нуль в різних точках, тобто має різних коренів, повинен ділитися на кожну з різниць:

і отже, також і на добуток цих різниць, тобто його ступінь не може бути нижче .

В такому випадку багаточлен повинен мати вигляд:

Рис.1.3

,

таким чином знаходимо

(1.5)

(1.6)

або