3 Точкова апроксимація

Для практики суттєво важливий випадок апроксимації функції багаточленом:

g(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m

При цьому коефіцієнти a_j будуть підбиратися так, щоб досягти найменшого відхилення багаточлена від даної функції.

Якщо наближення будується на заданій множині точок {xi}, то апроксимація називається точковою. До неї відносяться інтерполювання, середньоквадратичне наближення таі інше. При побудові наближення на неперервній множині точок(наприклад, на проміжку [a,b] апроксимація називається неперервною або інтегральною).

Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполювання. Воно полягає у наступному: для даної функції y=f(x) будуємо багаточлен, що приймає в заданих точках x_i ті самі значення y_i, що і функція f(x), тобто g(x_i)=y_i, i=0,1,…n.

При цьому припускається, що серед значень x_i немає однакових, тобто x_ix_k при цьому ik. Точки x_i називаються вузлами інтерполяції, а багаточлен g(x) - інтерполяційним багаточленом.

Таким чином, близькість інтерполяційного багаточлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій схемі точок(суцільна лінія).

Максимальний ступінь інтерполяційного багаточлена m=n; в цьому випадку говорять про глобальну інтерполяцію.

При великій кількості вузлів інтерполяції отримаємо високий ступінь багаточлена у випадку глобальної інтерполяції, тобто коли необхідно мати один інтерполяційний багаточлен для всього проміжку виміру аргументу. Крім того, табличні дані могли бути отримані шляхом вимірів та містити похибки. Побудова апроксимовуваного багаточлена за умови обов’язкового проходження його графіка через ці експериментальні точки значило б старанне повторення припущених при вимірах похибок. Вихід з цього положення може бути знайдено шляхом вибору такого багаточлена, графік якого проходить близько від даних точок (пунктирна лінія).

Одним з таких видів є середньоквадратичне наближення функції за допомогою багаточлена. При цьому m  n; випадок m = n відповідає інтерполяції. На практиці стараються підібрати апроксимуючий багаточлен якомога меншого ступеня(як правило, m=1, 2, 3).

Мірою відхилення багаточлена g(x) від заданої функції f(x) на множині точок (x_i,y_i) (i=0,1,…,n) при середньоквадратичному наближенні є величина S, що дорівнює сумі квадратів різниці між значеннями багаточлена і функції в даних точках:

Для побудови апроксимуючого багаточлена необхідно підібрати коефіцієнти a₀, a₁,…,a_m так, щоб величина S була найменшою. В цьому і полягає метод найменших квадратів.

УЗАГАЛЬНЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ: інтерполяція, апроксимація, точкова інтерполяція, інтерполяційний многочлен Лагранжа

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: придумати приклад застосування формули Лагранжа

ВИКЛАДАЧ – В.А. Данилова

Лекція №16 (2 год)

ТЕМА: Чисельне інтегрування

МЕТА:  

навчальна:вчитися обчислювати визначені інтеграли методом прямокутників, трапецій та парабол;

розвиваюча: розвивати логічне мислення;

виховна: інтерес до точних наук.

ОБЛАДНАННЯ: дошка

ПЛАН

1 Формула прямокутників

2 Формула трапецій

3 Формула парабол (Сімпсона)