Опис експериментальної установки

Схема установки для експериментального визначення граничної умови при розташування датчика всередині тіла наведена на рис. 1.

Установка складається з графітового стрижня, що ззовні вкритий теплоізоляційною оболонкою. До одного з кінцій стрижня під’єднаний нагрівач. Установка містить три термопари, що через перемикач підключені до мультиметра.

За допомогою термопари Т₁ обчислюється значення температури в точці х₁. За допомогою термопар Т₁ і Т₂ обчислюється значення теплового потоку:

(4)

За допомогою термопари Т₃ проводиться контроль обчислення крайової умови.

Рис. 1. Схематичне зображення установки для експериментального визначення граничної умови.

Хід роботи

1. Підготувати таблицю 1 для занесення результатів вимірювань.

2. Виміряти значення х₁ і х₂.

3. Записати показання температур Т₁, Т₂ і Т₃ для часу 0 с.

4. Ввімкнути установку і запустити секундомір.

5. Кожні 60 с. на протязі 40 хвилин знімати значення температур Т₁, Т₂ і Т₃ (перемикати перемикачем) і заносити у таблицю 1.

6. Провести обробку результатів і розрахувати крайову умову.

Обробка результатів

1. Сформувати таблицю 2 у програмі Excel пакету MS Office.

2. Перенести значення часу (у секундах), та температури (стовпчики 1-4).

3. За формулою (4) розрахувати q(x₁) (стовпчик 5).

4. Значення похідних (стовпчики 6-8, 10-11) апроксимуються скінченними різницями (вперед)

Розрахунки проводяться до п’ятої похідної включно. Увага! Кожна похідна має на одне (останнє) часове значення менше, ніж вихідна для неї функція. Тому останнє значення для перших похідних – на 39 хвилині, других – 38 і так далі.

5. Проводиться розрахунок стовпчиків 9 і 12 до моментів часу 35 хвилин включно.

6. Для кожного моменту часу проводиться визначення температури Т(0, t) шляхом сумування по формулі (3) (тільки до п’ятого доданку) з використанням результатів обчислень стовпчиків 9 і 12.

7. Побудувати в одній системі координат графік експериментальних Т₃(t) та розрахованих Т(0, t) значень.

Параметри графіту:

густина 1694 кг/м³

питома теплоємність 1422,89 Дж/(кг·К)

теплопровідність 72,075 Вт/(м·К)

Контрольні питання

1. Що таке зворотна задача теплопровідності?

2. Для чого вимірюється температура Т₂?

3. Для чого вимірюється температура Т₃?

4. Скільки крайових та початкових умов необхідно для розв’язання нестаціонарного диференційного рівняння теплопровідності?

5. Для чого використовується теплова ізоляція в даній роботі? Чи був би коректним результат при її відсутності? Відповідь обґрунтувати.

Лабораторна робота №9

РОЗРАХУНОК НЕСТАЦІОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

Мета роботи

Вивчення методів розрахунку нестаціонарних температурних полів.

Завдання

Визначити за допомогою чисельного розрахунку нестаціонарне температурне поле у тришаровому тілі за заданими крайовими умовами.

Загальні відомості

Визначення теплових потоків є одним з головних завдань енергетики. Для розрахунку теплових потоків у будь-якій системі необхідно знання температурного поля.

Температурне поле у твердих тілах описує диференційне рівняння теплопровідності:

(1)

з початковою умовою

(2)

та крайовими умовами:

- першого роду (3)

- другого роду (4)

- третього роду (5)

- четвертого роду (6)

Г – будь-яка межова точка тіла, а – коефіцієнт температуропровідності, Т₀ – температура навколишнього середовища, α – коефіцієнт тепловіддачі, с – питома теплоємність, ρ – густина, λ – коефіцієнт теплопровідності, Р(х, t) – щільність джерел енергії.

Для знаходження температурного поля необхідно розв’язати задачу Коші, що складається з рівняння (1), початкової умови (2) та будь-яких двох крайових умов (3) - (5). Крайова умова (6) застосовується на межі контакту двох тіл, коли не має конвекції.

Частіше за все аналітичний розв’язок такої системи не може бути знайдений. Тому застосовують чисельний розв’язок на основі методу скінчених різниць. Він полягає у наступному.

Кожна похідна апроксимується наступним чином:

(7)

Права частина рівняння (7) має назву кінцево-різницевого аналогу похідної. Для застосування цього аналогу проводиться дискретизація простору і нормованого часу (з кроками h та τ відповідно), як показано на рис. 1. Нормований час вводиться як a·t, при цьому рівняння (1) може бути переписано у вигляді:

(8)

При цьому кінцево-різницеві аналоги похідних мають вигляд:

або (9)

Рис. 1

(10)

Для спрощення запису було введене позначення

Тоді рівняння (8) у кінцево-різницевій формі при Р=0 та використанні першої формули (9):

або (11)

де .

При використанні другої формули (9) отримуємо

або

(12)

Схема вузлів, що використовується у формулі (11) має назву явної (рис. 2, а), а у формулі (12) – неявної (рис. 2, б).

Явна схема дає можливість прямого обчислення значень функції на новому часовому шарі із значень попереднього. Однак, для стійкості схеми обчислень необхідно, щоб σ≤1/2. При застосуванні неявної схеми необхідно розв’язувати тридіагональну систему рівнянь відносно значень на новому шарі часу. Однак обмежень щодо σ не існує.

а б

Рис. 2

У даній роботі буде використовуватися тільки явна схема.

Крайові умови апроксимуються наступним чином:

• Крайова умова першого роду (3) дає безпосереднє значення функції. У такій точці значення не перераховується за формулою (11).

• Крайова умова другого роду (4):

Для Г = 0

(13)

Розрахунок за формулою (13) проводиться після розрахунку величини .

Для Г = n

(14)

Розрахунок за формулою (14) проводиться після розрахунку величини .

• Крайова умова третього роду (5):

Для Г = 0

;

(15)

Розрахунок за формулою (15) проводиться після розрахунку величини .

Для Г = n

;

(16)

Розрахунок за формулою (16) проводиться після розрахунку величини .

• Крайова умова четвертого роду (6):

;

(17)

Розрахунок за формулою (17) проводиться після розрахунку величин і .