Задача д7

Барабан радиуса R весом Р имеет выточку (как у катушки) радиу­са r = 0,6R (рис. Д7.0 –Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы и , направления которых определяются углом ; кроме сил на барабан действует пара с моментом М; когда в таблице M < 0, направление момента противо­положно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. х_C = f(t), и наименьшее значение коэф­фициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный ци­линдр радиуса R.

Указания. Задача Д7 – на применение дифференциальных уравне­ний плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует во избежание ошибок в знаках направить коорди­натную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным дви­жение центра С барабана, и считать тогда все моменты положитель­ными, когда они направлены в сторону вращения барабана.

Таблица Д7

Номер условия			F1	F2	M
	град
0	30	60	0	0,4P	0
1	30	30	0,2P	0	0
2	0	30	0	0,2P	0,1PR
3	30	–	0	0	0,4PR
4	30	90	0,1P	0	–0,2PR
5	0	60	0,3P	0,1P	0
6	30	0	0	0,3P	0,2PR
7	0	60	0,2P	0	0,3PR
8	30	90	0	0,2P	–0,4PR
9	30	60	0,1P	0	–0,3PR

Рис. Д7.0	Рис. Д7.1		Рис. Д7.2
Рис. Д7.3	Рис. Д7.4		Рис. Д7.5
Рис. Д7.6		Рис. Д7.7
Рис. Д7.8		Рис. Д7.9

Если фак­тически направление движения центра С другое, то в ответе получится a_C < 0, но найденное значение |a_C| будет верным. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону (результат от этого не зависит).

Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при кото­ром возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что , откуда . Следовательно, . Очень существенно, что во все эти выра­жения входят модули сил (мы не пишем |N|, так как в данной задаче не может быть N < 0). Если при расчетах получится F_тp < 0, то это означает лишь, что фактически сила направлена в другую сторону; в остальном весь расчет будет верен.

Пример Д7. Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиуса R и весом Р начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона ; на барабан действуют сила и пара сил с моментом М (рис. Д7).

Д а н о: Р, F = 0,8P, М = 1,1РR,  =30°,  = 30°. Опреде­лить: 1) х_C= f(t) – закон движения центра масс барабана; 2) f_min – наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Решение. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил , , , и момента М. Так как направление силы трения заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Проводим оси Оху и составляем дифференциальные уравнения плоскопараллель­ного движения:

; ; (1)

; ; (2)

; . (3)

За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки, т. е. в ту сторону, куда будет вращаться бара­бан при движении центра С от оси Оу.

Рис. Д7

1) О п ределение х_С= f(t). Так как ясно, что в нашей задаче у_C = R= = const и = 0, то уравне­ния (1)–(3) содержат четыре неиз­вестные величины ( и ). Поэтому необходимо найти еще одно соотношение, связывающее эти величины. Для этого учтем, что (так как центр С движется прямолинейно) и при качении без скольжения в точке В находится мгновенный центр скоростей. Тогда

, или

. (4)

Теперь из уравнения (3) можно исключить , подставив в (3) найденное значение ; деля одновременно обе части уравнения (3) на R, получим

(5)

Далее, сложив почленно равенства (1) и (5), исключим из них F_тp и получим

.

Отсюда, так как Р = mg, найдем для определения х_с = f(t) следующее дифференциальное уравнение:

(6)

Интегрируя уравнение (6), получим

. (7)

По начальным условиям при t =0 и (ось у проводим через начальное положение точки С). Подстановка этих величин в равенства (7) дает C₁ = 0, С₂ = 0. Окончательно находим следующий закон движения центра С:

. (8)

2) Определение f_min. Для определения f исходим из того, что при качении без скольжения сила трения должна удовлетворять не­равенству

, (9)

куда, подчеркиваем, входят модули сил. Величину N находим из уравнения (2), учитывая, что у_с = 0. Получим

N = P cos + F sin = Pcos30° + 0,8Psin30° = 1,27P . (10)

Значение F_тp проще всего найти из уравнения (5), заменив в нем х_с его значением (6). Получим

0,3mg = F – F_тр – M / R.

Отсюда, так как mg = Р, то

F_тр = F – M/R – 0,3P = 0,8P – 1,1P – 0,3P = – 0,6P . (11)

Знак указывает, что сила направлена противоположно показанному на рисунке.

Подставляя значения и N из равенств (11) и (10) в неравен­ство (9), получим откуда f  0,47. Следовательно, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения f_min = 0,47.