5.2. Канонические формы уравнений в частных производных второго порядка
Уравнением
с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными
называется
соотношение
между неизвестной функцией
и её частными производными до второго
порядка включительно:
,
где
;
;
;
;
.
Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид:
,
(5.2.1)
где
Если
коэффициенты
зависят не только от
,
а являются подобно
,
функциями
,
то такое уравнение называется
квазилинейным.
Уравнение
называется линейным, если оно линейно
как относительно старших производных
,
так и относительно функции
и
(5.2.2)
где
все коэффициенты в (5.2.2) и
есть функции от
и
.
Если коэффициенты в (5.2.2) не зависят от и , то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнение
(5.2.2) однородное, если
.
С
помощью преобразования переменных
,
мы получим новое уравнение эквивалентное
исходному.
Пусть
даны две взаимно однозначные системы
координат
и
(рис. 5.1),
связанные
соотношениями
,
и
,
.
Рис. 5.1
У
равнение
координатной линии
в системе
координат
имеет вид
.
Дифференциал
этой функции двух переменных равен нулю
и
т.е.
производные
и
пропорциональны друг другу в каждой
точке плоскости и коэффициент
пропорциональности
,
равен скорости изменения переменной
у
вдоль линии
,
проходящей
через данную точку. Каждая криволинейная
система координат
имеет свою
характеристику
и по ней
можно определить само уравнение
координатной линии
,
,
.
Ставится
задача как выбрать
и
,
чтобы уравнение (5.2.1) имело наиболее
простую форму в новых переменных
,
.
Преобразуя
производные к новым независимым
переменным
и
,
имеем
,
,
,
здесь
учитывалось, что
,
,
так как
и
независимые переменные и
,
.
И также
,
.
Следовательно
,
(5.2.3)
аналогично
.
Для смешанного производного имеем
.
Теперь все эти производные поставляя в уравнение (5.2.1) имеем
или
Обозначая
,
,
можно записать
,
(5.2.4)
Так
как вторые производные не входят в
и вторые производные от
и
в выражении
равны
нулю для
.
Преобразование переменных линейное,
то значение
.
И так, преобразованное выражение
- не получает дополнительных слагаемых
от преобразования вторых производных.
Формы уравнений (5.2.4) и (5.2.1) идентичны.
Теперь
переменные
и
выбираются такие, чтобы
или
для уравнения (5.2.4)
.
(5.2.5)
Таким
образом, задача выбора переменных
и
связано с решением уравнения (5.2.5).
Учитывая, что производные пропорциональны
с коэффициентом
.
То (5.2.5) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
или
,
так как
,
то получаем
(5.2.6)
характеристическое уравнение для (5.2.1).
Из уравнения (5.2.6) следует
,
(5.2.7)
.
(5.2.8)
Из (5.2.7) имеем
,
,
,
.
Функции
и
называются характеристиками
преобразования
координат. Таким образом получаем
уравнения характеристик
,
.
Уравнение (5.2.1)
в
точке
называется
уравнением:
гиперболического
типа, если
;
эллиптического
типа, если
;
параболического
типа, если
.
Уравнение (5.2.1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично,
эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение
(5.2.1)
может менять свой тип при переходе из
одной точки (области) в другую. Например,
уравнение
является уравнением эллиптического
типа в точках
;
параболического типа в точках
;
и гиперболического типа в точках
.
Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества:
,
где
.
Из
которого следует инвариантность типа
уравнения при преобразовании переменных,
так как Якобиан
.
Для того чтобы было возможно введение новых переменных и , надо убедиться в независимости этих функций, достаточным условием чего является отличие от нуля функционального определителя.
Пусть в некоторой точке
.
Тогда имеет место
,
что невозможно, так как
,
и
.
Через
каждую точку области
проходят две характеристики
,
,
причем для уравнений гиперболического
типа - характеристики действительные
и различные; для уравнений эллиптического
типа – комплексные и различные; для
уравнений параболического типа обе
характеристики действительные и
совпадают.
Для каждого типа уравнений существует своя каноническая форма. Термин каноническая форма заимствована из теории кривых второго порядка.