Аппроксимация. Динамические ряды. Статистическое прогнозирование.
Аппроксимация (метод приближения)- приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов.
При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость аппроксимировать их линейной функцией.
Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции) g(x), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.
В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.
В случае если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.
Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция – нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Аппроксимация линейной функцией
Любая линейная функция
может быть записана уравнением
Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой. С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение:
Линейная аппроксимация - линия регрессии - представлена на графике (рис.1). Черными кружками отмечены выборочные значения. Размер кружков соответствует их частотам.
Рис. 1 Аппроксимация линейная
Аппроксимация интегральная (криволинейная корреляция)
Если линейная аппроксимация статистической зависимости между двумя величинами не отражает характер зависимости, используют модель криволинейной корреляции. Одной из распространенных является параболическая корреляция второго порядка, при которой уравнение регрессии Y на X имеет вид:
.
На практике выборка совместного
распределения случайных величин X
и Y возникает как последовательность
пар 
перечисленных в порядке произведенных
наблюдений, среди них могут быть и
одинаковые. Для нахождения коэффициентов
регрессии можно, но не обязательно
группировать данные в корреляционную
таблицу. Например, данные по увеличению
стоимости и полученной прибылью от
продаж для N – го количества выбранных
объектов можно свести в таблицу.
Увеличение стоимости Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Прибыль Y |
100 |
160 |
180 |
120 |
50 |
Заметим, что устанавливаемое увеличение стоимости по смыслу является величиной неслучайной, принятой на основании анализа рынка и статистических обработок данных. Прибыль, определяемая количеством проданных объектов, напротив, величина случайная, среднее значение которой зависит от принятого увеличения стоимости.
Уравнение регрессии Y на X необходимо найти в виде:
Решение уравнения даст возможность построить график.
На графике представлены значения полученных прибылей при различных увеличениях стоимости объектов и полученная по ним параболическая линия регрессии. Таким образом, на рис.2 представлен вид графика криволинейной корреляции.
Рис.2. Аппроксимация интегральная
Динамический ряд — это ряд однородных статистических величин, показывающих изменение явления во времени. Динамический ряд может быть представлен абсолютными числами (изменение числа проданных объектов недвижимости за определенный период времени), средними величинами (средняя цена единицы измерения, например, квадратного метра жилья, в разрезе районов города, реализованных за год) и относительными показателями (изменение стоимости за несколько месяцев, обычно не более года). Числа, из которых состоит динамический ряд, называются уровнями ряда. Анализ динамического (временного) ряда сводится к вычислению следующих показателей: абсолютного прироста (или снижения); темпа роста (или снижения); темпа прироста; значения 1% прироста.
Абсолютный прирост представляет собой разность между последующим и предыдущим уровнем.
Темп роста — это отношение последующего уровня к предыдущему, умноженное на 100%.
Темп прироста является отношением абсолютного прироста (снижения) к предыдущему уровню, умноженным на 100%.
Значение 1% прироста определяется отношением абсолютного прироста к темпу прироста.
Условия правильного построения динамических рядов
Основным условием правильного построения динамического ряда - это обеспечение сопоставимости уровней ряда (числовых значений изучаемого явления).
Сопоставимость уровней (показателей) ряда обеспечивается путем строгого соблюдения целого ряда правил построения динамического ряда:
все показатели динамического ряда должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения.
все показатели динамического ряда рассчитываются по единой методике, одним и тем же способом.
все показатели динамического ряда должны быть одинаковы по полноте охвата изучаемой совокупности. Это означает, что все показатели динамического ряда должны относиться к равным периодам времени (или за месяц, или за квартал, или за год и т.д.), к одной и той же территории.
Для правильного построения динамического ряда необходимо обеспечить полную достоверность всех показателей ряда, их научную обоснованность, так как любая небрежность, неточность может и корне исказить исследуемую закономерность (тенденцию).
На рисунках 3,4 приведены примеры вариантов построения динамического ряда.
Рис.3 Динамический ряд
Рис.4. Динамический ряд
Статистическое прогнозирование
Наличие достаточно большой последовательности помесячных (понедельных) данных о средних значениях изучаемых показателей (динамического ряда) позволяет построить график изменения показателя во времени. Первым шагом является построение ломаной линии, проходящей через отмеченные точки на графике. Однако делать вывод об изменении показателя за месяц, квартал, год по разности значений точек можно только при достаточно большом объеме выборок, когда для каждой пары точек всего ряда соблюдается следующее правило:
С2>C1+D
Если правило не выполняется, следует сделать следующий шаг - сглаживание ряда. Правило сглаживания состоит в том, что следует провести плавную линию так, чтобы близкие точки отклонялись от нее примерно на равное расстояние. Желательно провести аппроксимацию полученной кривой одной из простейших функций, определив ее коэффициенты специальными методами математической статистики. На рис. 5 представлен график сглаживания динамического ряда.
Рис. 5. Сглаживание динамического ряда
Следующее правило состоит в том, чтобы проценты прироста или снижения показателей за определенный период вычислялись по точкам кривой, а не по фактическим значениям, при этом повышается их точность.
Использовать полученную кривую для прогнозирования изучаемого процесса можно лишь на коротком участке (1-2 мес.) и лишь когда изменения тенденций не ожидается. Более глубокий анализ и прогноз возможен, когда математическая модель процесса построена на основе выявленных закономерностей протекания исследуемого процесса.
Контрольные вопросы.
1) Охарактеризуйте основные понятия анализа рынка недвижимости.
2) Какие показатели применяются при анализе рынка недвижимости?
3) Как рассчитываются средние величины, применяющиеся при анализе рынка недвижимости?
4) Охарактеризуйте процесс оценки дисперсии.
5) Каким образом и с какой целью оценивается погрешность в определении средних? Наиболее приемлемая погрешность в сфере риэлторской деятельности.
6) Каким образом можно изучать динамику показателей и строить статистические прогнозы?