3.5. Доминирование стратегий

Для уменьшения размерности платёжной матрицы используется прием сведения игры с платёжной матрицей А к игре с платёжной матрицей А', у которой стратегии, вероятности принятия которых равны 0, опущены.

Определение 29. Стратегия игрока А - А_l доминирует его стратегию А_k или А_k доминируется А_l , если для любой чистой стратегии игрока В выполняется условие

; если условие выполняется на строгом равенстве, то стратегии А_l и А_к называются дублирующими.

Определение 30. Стратегия игрока В - В_s доминирует его стратегию В_r или В_r доминируется В_s, если для любой чистой стратегии игрока А выполняется условие

; если условие выполняется на строгом равенстве, то стратегии В_r и В_s называются дублирующими.

Примем без доказательства правило:

- при решении матричных игр доминируемые стратегии опускаются и соответствующие компоненты в векторе или полагаются равными нулю;

- опускаются все дублирующие стратегии, кроме одной, и соответствующие компоненты в и полагаются равными нулю.

Определение 31. Если условие доминирования выполняется на строгом равенстве, то имеет место строгое доминирование.

Примем без доказательства следующие теоремы:

Теорема 5. Если в матричной игре стратегия l доминирует стратегию k и стратегия k оптимальна, то стратегия l тоже оптимальна.

Здесь речь идёт об альтернативных решениях и ,опустив доминируемую стратегию, мы можем потерять альтернативное решение игры.

Теорема 6. Если в матричной игре стратегия l строго доминирует стратегию k , то стратегия k не может быть оптимальной.

Таким образом, правило сокращения размерности при строгом доминировании стратегий применяется всегда, при нестрогом - если не нужен весь набор оптимальных решений, включающий альтернативные.

6. . Варианты контрольной работы

Задача 1. Найти решение игры в чистых стратегиях:

^{; ;}

^{; ;}

; ;

; ;

; .

Задача 2. Найти решение игры в смешанных стратегиях; игра 2 2:

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Задача 3. Найти решение игры 2 n:

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Задача 4. Найти решение игры m 2:

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Задача 5. Для условий задачи 1 произвести операцию доминирования.

Задача 6. Для условий задачи 3 найти решение игры сведением к ЗЛП: для сокращения размерности задачи использовать свойства доминирования.

Задача 7. Проверить, удовлетворяют ли условия теорем 2 и 3 решению, полученному в задаче 6.

Библиографический список

1. Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985.

2. Матричные игры / Под. ред. Н.Н. Воробьева. – М.: Физматгиз, 1961.

3. Карлин С. Математические методы в теории игр, программирование в экономике. – М.: Мир, 1964.

4. Крушевский А.В. Теория игр. – Киев: Вища шк., 1977.

5. Коваленко А.А. Сборник задач по теории игр. – Львов: Вища шк., 1974.

6. Мак-Кинси Д. Введение в теорию игр. – М.: Физматгиз, 1960.

Учебно-методическое издание

Гузыкина Татьяна Николаевна

Матричные игры

Редактор Н.А. Юшко

Подписано в печать 27.05.2003 г. Бумага офсетная. Формат 6084 1/16. Печать оперативная. Усл.печ.л. 2,79. Уч.-изд.л. 2,86. Тираж 50. Заказ

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ) Редакционно-издательский отдел ЮРГТУ (НПИ) Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132.