3.4. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Примем без доказательства следующую теорему:

Теорема 4. Смешанные стратегии игроков в игре с платежной матрицей А и ценой игры V^* будут оптимальны и в матричной игре с , элементы которой есть линейная комбинация элементов А:

= { a_ij } = {ba_ij +c}, , ; b,c =const, b>0,

при этом цена игры = bV^* + c.

Рассмотрим процедуру сведения матричной игры к задаче линейного программирования (ЗЛП). Запишем условия, которым должны удовлетворять вектора оптимальных стратегий игроков:

по теореме 2 имеем , ,

, ; (12)

условия нормировки

; (13)

ограничения на знак , ,

, . (14)

По теореме 4 за счет преобразования А в А‘ можно добиться того, чтобы все элементы А' были больше нуля. Не нарушая общности, будем считать, что , , . Тогда цена игры будет строго больше нуля:

Разделим обе части (12) и (13) на V^* (мы можем это сделать, т.к. V^* > 0) и сделаем замену переменных: , . Тогда условия (12)-(14) запишутся следующим образом:

, ; (15)

, ; (16)

; (17)

; (18)

, ; (19)

, . (20)

Из полученных условий сформулируем ЗЛП для игрока А. Игрок А стремится максимизировать свой выигрыш V^* , поэтому для него , тогда из (17) получим выражение для функции цели:

. (21)

Запишем ограничения на область, в которой находится минимум функции цели:

, ; (22)

, . (23)

Аналогично игрок В стремится минимизировать свой проигрыш V^*, поэтому для него и ЗЛП для игрока В имеет следующий вид:

; (24)

, ; (25)

, . (26)

Решив полученные задачи линейного программирования и сделав переход от x_i к и от y_j к , получим решение игры.

Схема перехода от решения ЗЛП к решению игры:

- определяем цену игры или ;

- определим компоненты векторов оптимальных стратегий игроков , ; , .

Замечание 1. ЗЛП (21) –(23) и (24) – (26) – двойственные, поэтому, решив прямую задачу по последней симплекс-таблице, в столбцах замещения для дополнительных переменных можно найти решение двойственной задачи; этот прием позволяет существенно сократить объем вычислений.

Замечание 2. Если матрица А преобразовывалась в , то следует перейти от к V^*, для этого используется обратное преобразование : .

Пример 4. Решить игру сведением к ЗЛП; платежная матрица имеет вид .

Решение

1. Проверим, существует ли решение игры в чистых стратегиях:

максиминные стратегии А₁, А₂;

минимаксная стратегия В₂;

-нижняя чистая цена игры не равна верхней чистой цене игры, α ≠ β, значит, седловой точки нет и решения в чистых стратегиях нет.

2. Проверим, возможно ли уменьшение размерности задачи за счет использования свойства доминирования стратегий:

• среди стратегий игрока А доминирования нет;

• стратегия В₃ доминируется стратегией В₂, поэтому матрица А преобразуется к виду

и вектора стратегий игроков будут иметь вид = , ; = , .

3. Для того чтобы решить игру сведением к ЗЛП, необходимо выполнение условия V^* >0. Это достигается сведением платежной матрицы А к матрице , у которой >0, , . Пусть b=1, с=2, тогда = +2

.

4. Запишем ЗЛП для игрока В:

; или F_ц^B= y₁+y₂  max;

, ; y₁+2y₂  1;

, ; 4y₁+y₂  1;

y₁ , y₂  0.

5. Вводим дополнительные неизвестные, сводя общую ЗЛП к каноническому виду:

F_ц= y₁+y₂  max;

y₁+2y₂+y₃ = 1;

4y₁+y₂ +y₄ = 1;

, .

6. Решаем задачу симплекс-методом:

			Основные переменные		Дополнительные переменные
Fц		0	1	1	0	0
eб	уб	bi	у1	у2	у3	у4
0	у3	1	1	2	1	0
0	у4	1	4	1	0	1
Z		0	-1	-1	0	0
0	у3	3/4	0	7/4	1	-1/4
1	у1	1/4	1	1/4	0	1/4
Z		1/4	0	-3/4	0	1/4
1	у2	3/7	0	1	4/7	1/7
1	у1	1/7	1	0	-1/7	2/7
Z		4/7	0	0	3/7	1/7

7. Из последней симплекс-таблицы имеем: оптимальное значение функции цели ыавыавыы =4/7; решение прямой ЗЛП – x₁=3/7, x₂=1/7; решение обратной ЗЛП – y₁=1/7, y₂=3/7.

8. Найдем решение игры с платежной матрицей :

- определим цену игры ;

• определим вектора оптимальных стратегий игроков

, ; ; , тогда ;

, ; ; , тогда; =

.

9) Найдем решение игры с платежной матрицей А. В соответствии с теоремой 4 вектора остаются такими же, как для игры с платежной матрицей , а цена игры находится по формуле

.

Пример 5. Проверить, удовлетворяются ли условия теорем 2 и 3 для полученного решения игры.

По теореме 2 для игрока А имеем условия:

, .

Пусть игрок В принял первую чистую стратегию, j=1, тогда получим

;

пусть игрок В принял вторую чистую стратегию, j=2, тогда получим

;

пусть игрок В принял третью чистую стратегию, j=3, тогда получим

.

Таким образом, условия теоремы 2 выполняются. Аналогично проверяется выполнение теоремы 2 для игрока В.

По условиям теоремы 3 для активных стратегий в условиях теоремы 2 имеем равенства, и действительно у игрока В активными являются стратегии В₁ и В₂, j = 1,2 , для которых условия теоремы 2 выполняются на равенстве. Таким образом, условия теоремы 3 выполняются.