3.3.2 Решение игры m2

Для игры m2 платёжная матрица имеет вид

; вектора стратегий: игрока А = ,…, ; игрока В = , .

Положим q₁= y, q₂= 1-y, тогда если игрок А выбрал чистую стратегию А_i, то проигрыш игрока В является линейной функцией у; для фиксированного i имеем

. (10)

Таким образом, каждой стратегии игрока А - А_i, соответствует прямая h_i .

Введём в рассмотрение функцию (у) вида (у)= , легко показать, что ломаная (у) есть верхняя огибающая всех прямых, соответствующих чистым стратегиям игрока А. Другими словами, ломаная есть верхняя граница проигрыша игрока В.

Игрок В стремится минимизировать свой проигрыш, поэтому он должен выбирать свою оптимальную стратегию так, чтобы аргумент - у приносил минимум , т.е. минимум гарантированного проигрыша:

Графически у* будет наинизшая точка ломаной , тогда q₁* = y*, q₂* =1-y*, где y – абсцисса наинизшей точки; ордината точки – цена игры, т.к. это – значение проигрыша игрока В при стратегии .Зная цену игры V* , ставим в соответствие ей оптимальные стратегии игрока А. Пусть активными будут стратегии А_s и A_r. Тогда = (0,…, p_s, 0, …, p_r, 0,…,0), где s и r – номера активных стратегий игрока А, т.е. номера прямых h_s(y) и h_r(y), дающих в пересечении точку с абсциссой у*. Значения p_s и p_r находятся для матрицы вида А'= по правилу игры 22:

; (11)

Г рафическая иллюстрация рассуждений приведена на рис.6.

Решение игры m2 аналогично решению игры 2n:

1) ;

2) точка у* есть точка пересечения стратегий s и r ; значения у* находятся из соотношения , тогда

3) активные стратегии игрока А - А_s и А_r; по формулам (11) находим p_s* , p_r* и .

Аналогично предыдущему рассматриваются частные случаи.

Случай 1. Точек минимума на [a,b] – множество (рис. 7), тогда для игрока В имеет множество решений , где у* из отрезка [a,b]; оптимальная стратегия игрока А - * =(0,…,0, ,0,…,0); цена игры V*=V( *, *).