3.2. Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Определение 26. Стратегии и называются смешанными, если хотя бы два значения вероятностей выбора стратегий первым и (или) вторым игроком не равны нулю:

Исходя из того, что стратегии представляют собой полную группу событий, выполняется условие нормировки: ; .

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 2. Для того чтобы смешанные стратегии игроков были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:

;

.

Т.е. выигрыш игрока А при его оптимальной стратегии и любой чистой стратегии игрока В не меньше цены игры, а проигрыш игрока В при его оптимальной стратегии и любой чистой стратегии игрока А не больше цены игры.

Определение 27. Чистые стратегии называются активными, если в оптимальной смешанной стратегии их вероятности не равны нулю.

Пусть, например, оптимальная стратегия игрока А имеет вид

тогда ,

, являются активными стратегиями игрока А (аналогично для игрока В).

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3. Если первый из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, а второй игрок выбирает любую активную стратегию, то выигрыш первого игрока равен цене игры; аналогично для второго игрока:

;

.

Здесь и - подмножества индексов активных стратегий соответственно игрока В и игрока А.

3.2.1. Решение игры 2 2

Найдем оптимальную стратегию игрока А. В соответствии с теоремой 3 применение игроком А оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых стратегиях игрока В - выигрыш, равный цене игры при условии, что В выбирает стратегию из активных:

. (6)

Здесь s – количество активных стратегий игрока В. Рассмотрим игру, в которой m=n=2 с платежной матрицей и векторами стратегий и .

Очевидно, что число активных стратегий игрока B – s = 2. С учетом этого (6) запишется в виде

для ;

для . (7)

Из (7) получим

.

Тогда и оптимальная стратегия игрока А найдена: . Аналогичным образом находится оптимальная стратегия игрока В. Применение игроком В оптимальной стратегии должно обеспечить при любых стратегиях игрока А проигрыш, равный цене игры при условии, что А выбирает стратегию из активных:

. (8)

Здесь r – количество активных стратегий игрока А.

Запишем условие (8) для случая игры 22, когда n = r = 2. Будем иметь при и :

для ;

для . (9)

Из (9) получим

.

Тогда и оптимальная стратегия игрока найдена: . Затем, подставив в одно из уравнений (9) или в одно из уравнений (7), получим цену игры .

3.3. Графоаналитический метод решения матричных игр

3.3.1. Решение игры 2n

Для игры 2n имеем платежную матрицу вида .

Количество стратегий игрока А – m = 2 и вектор стратегий имеет вид ; количество стратегий игрока В –п и вектор стратегий . Положим р₁=х , тогда р₂=1-х . Если игрок В выбрал чистую стратегию В_j из набора возможных, то выигрыш игрока А является линейной функцией от х – вероятности принятия им первой стратегии:

Таким образом, каждой стратегии В_j соответствует прямая l_j(x), . Введём в рассмотрение функцию

. Не сложно показать, что графиком будет нижняя огибающая всех прямых, соответствующих стратегиям игрока В. Другими словами, ломанная есть нижняя граница выигрыша игрока А. Игрок А стремится максимизировать свой выигрыш, поэтому он должен выбирать свою оптимальную стратегию так, чтобы аргумент х приносил максимум , т.е. максимум гарантированного выигрыша:

.

Графически х* будет наивысшей точкой ломанной , тогда р₁*= х* – абсцисса наивысшей точки; ордината наивысшей точки – цена игры, т.к. это значение выигрыша А при . Зная цену игры V*, ставим ей в соответствие активные стратегии В. Пусть это будут стратегии номер s и r, соответствующие прямым l_s(x) и l_r(x) и дающим в пересечении точку с абсциссой х*.

Тогда вектор оптимальных стратегий игрока В имеет вид = (0,…p_s, 0…p_r, 0…0). Значения q_s и q_r находятся для матрицы А' вида А'=

по правилу игры 22:

;

.

Графическая иллюстрация рассуждений приведена на рис. 1.

Рис.1

Пример 2. Для игры с платежной матрицей

найти решение графоаналитическим методом.

Решение

1. Запишем l_j(x)= a_1j  x + a_2j (1-x), :

l₁(x) = 1 x - 1 (1-x) = 2 x-1,

l₂(x) = 4 x - 2 (1-x) = 6 x-2,

l₃(x) = 0 x + 1 (1-x) = -x+1 ,

l₄(x) = -1 x + 5 (1-x) = -6 x+5.

2. П остроим графики l_j(x), ; найдем нижнюю огибающую, её Верхнюю точку, активные стратегии игрока В.

верхняя точка нижней огибающей x^* есть точка пересечения и (см рис. 2), поэтому активными стратегиями игрока В являются В₁ и В₂, т.е. s = 1, r = 3 .

3. Найдём численное значение вероятности принятия игроком А первой стратегии, т.е. точку пересечения l₃(x) и l₄(x) из условия

2 x* -1 = -x* +1, x* = 2/3, тогда = (2/3, 1/3).

4. Найдём цену игры V* = l₃(x*) = l₄(x*) = 2  2/3 – 1 = 1/3.

5. По активным стратегиям игрока В для платёжной матрицы А'= определим и :

;

.

= (1/3, 0, 2/3, 0).

Ответ: = (2/3; 1/3); = (1/3, 0, 2/3, 0); V* = 1/3.

В ыделим по виду (x) частные случаи.

Случай 1. Рассмотрим случай, когда имеет множество точек, максимальных на [0; 1]. Тогда игрок А имеет бесконечное множество оптимальных страте-гий, = (x*, 1-x*), где x* из отрезка [a, b] (см. рис. 3). Оптимальной стратегией игрока В является чистая стратегия В_к :

= (0,…0, , 0,…,0).

Цена игры (x*) = V( ) одна и та же для всех x*  [a, b].

Случай 2: Если достигается в крайних точках отрезка [0,1]

а ) если в точке х* = 0, то оптимальной стратегией игрока А будет чистая стратегия = (0;1), а оптимальной стратегией игрока В - = (0,…0, , 0,…0), где номер k такой, что точка (х*,(x)) лежит на прямой l_k(x); цена игры (x*) = l_k(x);

б ) если достигается в точке х* = 1 (см. рис. 5), то оптимальной стратегией игрока А будет чистая стратегия =(1, 0), оптимальной стратегии игрока В – чистая стратегия =(0,…0, ,…0), где s такое, что (х*, (x)) лежит на l_s(x); цена игры (x*) = l_s(x*).