3.2.3. Зв‘язок методу Гауса з методом lu - розкладу

Алгоритм методу Гауса можна записати у матричному вигляді. Він полягає у розкладанні матриці коефіцієнтів А на добуток більш простих матриць. Для наочності розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що складається з 3-х рівнянь:

(3.10)

Для виключення невідомої х₁ з другого і третього рівнянь системи (3.10) виконаємо наступні операції:

• ділення першого рівняння на а₁₁ = 0,

• віднімання перетвореного першого рівняння, помноженого на а₂₁ та а₃₁ відповідно від другого і третього рівнянь.

Перша з цих операцій еквівалентна множенню системи рівнянь зліва на діагональну матрицю:

Друга операція еквівалентна множенню зліва на матрицю:

Таким чином, для виключення невідомої х₁ з другого і третього рівнянь системи (3.10) потрібно виконати наступне перетворення:

(3.11)

В результаті отримаємо систему рівнянь:

(3.12)

Другий крок прямого ходу методу Гауса, який полягає у виключенні невідомої х₂ з третього рівняння, можемо виконати, помноживши систему рівнянь на матрицю:

В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:

(3.13)

Для останнього кроку прямого ходу методу Гауса помножимо рівняння з раніше виконаними перетвореннями на матрицю:

Таким чином, сукупність виконаних перетворень можемо записати у вигляді:

.

Їх результатом є верхня трикутна матриця U з одиничною головною діагоналлю:

Система рівнянь (3.12) після перетворень матиме вигляд:

(3.14)

Оскільки , то потрібно обчислити . Матрицю – нижню трикутну матрицю – отримаємо за формулою: . Обернені матриці мають наступний вигляд:

а нижня трикутна матриця запишеться так: .

3.3 Непрямі методи розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

3.3.1. Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 10⁶.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х₀ чи (х₀¹, х₀², х₀³, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

(3.15)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівален­тною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

3.3.2. Метод простої ітерації та метод Зейделя для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Першим необхідним корком при застосуванні методів простої ітерації та Зейделя є приведення системи лінійних алгебраїчних рівнянь до нормалізованого вигляду, представленого формулою 3.15.

Для здійснення ітераційного процесу нормалізовану систему приводимо до ітераційного вигляду, тобто виражаємо з кожного і-го рівняння відповідну змінну х_і:

(3.16)

Для початку ітерацій задаємо початкові значення всіх невідомих х₁, х₂, х₃, … х_n-1, х_n.

Метод простих ітерації полягає у підстановці значень вектору початкових наближень (х₁⁰, х₂⁰, х₃⁰, …, х_n⁰) в праву частину системи (3.16) і отримання в лівій частині чергового вектора наближень (х₁¹, х₂¹, х₃¹, …, х_n¹). Збіжність методу простих ітерацій досить повільна, для її підвищення Зейдель запропонував підстановку, яка дозволяє в (n-1) раз зменшити кількість кроків і, таким чином, підвищити збіжність методу.

При здійсненні ітерацій підстановка Зейделя полягає в тому, що знайшовши з першого рівняння х₁¹ по значеннях вектору початкових наближень інших змінних, ми використовуємо його при отриманні значення х₂¹ у складі вектора чергових наближень (х₁¹, х₂⁰, х₃⁰, …, х_n⁰). Тобто всі попередньо знайдені значення поточної ітерації використовуються для знаходження наступних значень цієї ж ітерації. Ітераційний процес можна записати наступним чином:

(3.17)

Умовою припинення ітерацій є виконання умови для всіх змінних х_і. При виході з ітераційного процесу можемо констатувати, що розв‘язок знайдено з точністю .