2.2.2. Метод хорд

Даний метод ґрунтується на лінійній інтерполяції функції F(x)=0 по двох значеннях, що мають протилежні знаки у значенні функцій F(a) та F(b) (рис. 2.5). Метод хорд швидше попереднього збігається до розв‘язку навіть при досить малих значеннях .

Рис. 2.5. Знаходження кореня за методом хорд.

Наприклад, потрібно знайти корінь рівняння F(x)=0 на проміжку [a; b], і відомо, що F(x) неперервна на [a; b] та F(a)∙F(b) < 0. Крім того, перша F'(x) і друга F''(x) похідні функції F(x) зберігають на проміжку [a; b] свій знак. Замінимо функцію F(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (a , F(a)) і (b , F(b)) :

 (2.7)

Лінійна функція P(x) на кінцях відрізку [a; b] приймає такі ж значення, як і функція F(x)=0.

В якості першого наближення при знаходженні кореня функції F(x)=0 візьмемо точне значення кореня функції P(x)=0, тобто х₁, яке розрахуємо з рівняння:

 (2.8)

При подальшому дослідженні відрізків [a; х₁] та [х₁; b], виберемо той, на якому функція змінює знак. На рисунку 2.5 бачимо, що таким відрізком є [a; х₁] Для вибраного відрізка побудуємо лінійне наближення функції за формулою 2.7, виконаємо розрахунки кореня для лінійного наближення за формулою 2.8, в результаті розрахунків отримуємо координати точки х₂. Ітераційний процес продовжуємо до отримання істинності нерівності: .

Метод хорд має високу збіжність до розв‘язку навіть для таких функцій F(x)=0, які мають низькі показники гладкості, але в окремих випадках швидкість збіжності може знижатись, наприклад, на тих ділянках, де значення функції змінюється дуже повільно.

2.2.3. Метод січних

Метод січних подібний до методу хорд, тільки точки з координатами (х₀ , F(х₀)) та (х₁ , F(х₁)) взяті з одного боку від кореня рівняння F(x)=0. Геометрична інтерпре­тація методу представ­лена на рис. 2.6.

В якості початкового наближення обираємо точки (х₀ , f(x₀)) та (х₁, f(x₁)) . Через точки (х₀ , f(x₀)) та (х₁ , f(x₁)) проводимо січну до графіку функції, яка перетинає вісь х в точці (х₂, 0). Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо січну через точки (х₁ , f(x₁)) та (х₂ , f(x₂)), знаходимо точку перетину січної з віссю х (точка (х₃, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови . Ітерації продовжуємо до виконання умови виходу з ітераційного процесу, тобто .

Рис. 2.6. Знаходження кореня за методом січних.

Для математичного опису методу січних отримаємо формулу прямої, що проходить через дві точки (х₀ , f(x₀)) та (х₁ , f(x₁)) :

(2.9)

Враховуючи, що f (x_n+1) = 0 отримаємо загальну формулу для методу січних:

(2.10)

Метод січних має досить високу збіжність до розв‘язку у випадку, коли F(x)=0 гладка функція, але в процесі розв’язання деяких рівнянь швидкість збіжності може знижатись, наприклад, на ділянках функції, близьких до функції х = const.

2.2.4. Метод дотичних (Ньютона)

Метод дотичних базується на заміні функції F(x)=0 у точці початкового наближення х₀ дотичною, яка при перетині з віссю х в точці (х₁, 0) дає перше наближення. У цьому методі Ньютон замість інтерполяції використав екстраполяцію, що знаходиться за допомогою дотичної у визначеній точці. Геометрична інтерпретація методу дотичних (Ньютона) показана на рисунку 2.7. В якості початкового наближення обираємо абсцису х₀ = b. У точці (х₀ , f(x₀)) проводимо дотичну до графіку функції, яка перети­нає вісь х в точці (х₁, 0).

Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо дотичну в точці (х₁ , f(x₁)), знаходимо точку перетину дотичної з віссю х (точка (х₂, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови .

І те­раційний процес продовжуємо до виконання умови виходу, тобто .

Рис. 2.7. Знаходження кореня за методом дотичних.

Для математичного опису методу дотичних отримаємо формулу дотичної, що проведена в точці (х₀ , f(x₀)) і має кутовий коефіцієнт :

(2.11)

У точці перетину цієї дотичної з віссю х (точка (х₁, 0)) y = 0, тому формулу 2.11 можемо записати у вигляді:

 (2.12)

Для будь якого кроку ітераційного процесу формулу Ньютона можемо записати у вигляді:

(2.13)

Метод дотичних (Ньютона) має високу збіжність до розв‘язку, але час виконання ітерації дещо збільшується за рахунок необхідності обчислення похідної .