2.1. Етап 1: відокремлення коренів

В ідокремлення коренів полягає у встановленні „тісних” проміжків, кожен з яких вміщує тільки один корінь. Найбільш наочно про демонструвати цей етап можливо графічно. Враховуючи, що дійсні коре­ні рівняння (2.1) – це точки перетину графіка функції F(х) з віссю абсцис, достат­ньо побудувати графік F(х) (рис.2.1) і відмітити на осі OX відрізки, кожен з яких вміщує лише один корінь.

Рис. 2.1. Графічний спосіб відокремлення коренів.

Побудову графіка вдається значно спростити, якщо замінити рівняння (2.1) рівносильним йому рівнян­ням F₁(х)= F₂(х). В цьому випадку будують графіки функцій F₁(х) та F₂(х), потім на вісі OX відмічають відрізки, що вміщують абсциси точок перетину цих г рафіків (рис. 2.2.).

Рис. 2.2. Варіанти розв’язання рівняння при заміні функції рівносильними функціями F₁(х) та F₂(х) на визначеному проміжку.

З устрічаються випадки, коли не тільки на першому етапі – при виділенні проміжків, що вміщують корені рівняння, а і при по­дальшому розв’язанні рівняння розрахунки проводять не за основною функцією F(x), а за наближеною до неї функцією F_к (x) (рис. 2.3).

Рис.2.3. Реальна функція F1(і) та її наближений аналог-функція F2(і).

При написанні програми, яка виконує відокремлення коренів графічний спосіб не є зручним, тому застосовують найпростіший алгоритм відокремлення коренів:

проміжок, на якому відшукуються розв’язки, ділять рівномірно на невеликі відрізки, на кінцях кожного відрізку розраховують значення функції, якщо функція на кінцях відрізку змінює знак – відрізок містить корінь (значення початку і кінця відрізку записується для подальшої обробки), інакше – кореня на відрізку немає і відрізок ігнорується.

Величина відрізків поділу залежить від коефіцієнта гладкості функції. Для визначення відрізку, що вміщує один корінь, можемо скористатися наступною теоремою [5].

Теорема 2.1. Якщо функція у = F(х) неперервна на інтервалі [a,b] і якщо F(а) та F(b) мають протилежні знаки, тобто F(а) F(b) < 0, то F(х) має хоча б один дійсний корінь на інтервалі [a,b]. Якщо при цьому F(х) має першу похідну, що не змінює знак на інтервалі [a,b], то корінь єдиний.

2.2. Етап 2: уточнення коренів

2.2.1. Метод половинного ділення

Припустимо, що рівняння має на відрізку [a, b] єдиний корінь. Функція F(x) на цьому відрізку неперервна. Поділимо відрізок [a, b] точкою навпіл (рис. 2.4). Якщо F(c)  0, то вибираємо відрізок [a, с] чи [с, b], на якому функція змінює знак, тобто F(а) F(с) < 0 чи F(с) F(b) < 0. Для подальших поділів використовуємо цей відрізок. На кожному кроці процесу половинного ділення відрізок зменшується вдвічі.

Рис. 2.4. Знаходження кореня рівняння методом половинного ділення.

Ітераційний процес продовжуємо, поки довжина відрізка не стане менше заданої точності :

(2.6)

При оцінюванні похибки методу, можемо помітити, що вибираючи в якості розв‘язку ліву (a) чи праву (b) границю остаточно розрахованого проміжку, допускаємо, що розв‘язок може знаходитись на відстані, що не перевищує розмір проміжку, тобто меншій чи рівній . Якщо ж в якості відповіді обрати точку в середині проміжку, то точний результат не може відхилятися від неї більш ніж на , тому в даному випадку при реалізації алгоритму для досягнення заданої точності потрібно вийти з ітераційного процесу, коли виконається умова .

Метод половинного ділення є абсолютно збіжним до розв‘язку, оскільки його алгоритм не залежить від виду функції .