1.1. Основні поняття

Розв‘язати задачу в класичній математиці означає довести існування розв‘язку і знайти його точне значення.

При чисельному розв‘язку задачі потрібно також довести існування розв‘язку і запропонувати ітераційний процес, який збігається до розв‘язку зі заданою точністю.

Рис. 1.1. Точність розв‘язання задачі чисельними методами

визначається -околом.

Поняття заданої точності в чисельних методах продемонструємо графічно. Навколо точки А, що відображає точний розв‘язок задачі, окреслимо коло радіусом , тобто -окіл. При обчисленні чергового значення змінних х₅ та у₅ , що визначають положення точки розв‘язку n₅ , яка першою з проміжних результатів обчислень n_і входить в -окіл, отримуємо результат чисельного розрахунку задачі з точністю .

Для прикладного математика і програміста, що працює у певній галузі науки чи техніки, важливо, щоб процес розв‘язку не потребував великих витрат часу і комп‘ютерної пам‘яті. Для нього важливі також питання, пов‘язані зі стійкістю результатів відносно збурень початкових даних і округленнями при обчисленнях.

1.2. Поняття стійкості та коректності задачі

Похибки у вхідних даних задачі є неусувними. Причому в одних випадках похибки вхідних даних і результатів задачі мають однаковий порядок, а в інших вони можуть відрізнятися на кілька порядків. Чутливість задачі до неточностей у вхідних даних характеризується стійкістю.

Задача називається стійкою за вхідними даними, якщо її розв‘язок неперервно залежить від вхідних даних, тобто малому приросту вхідної величини відповідає малий приріст розв‘язку .

При невиконання даної умови задача вважається не стійкою, що означає – зміни, навіть незначні, у вхідних даних можуть привести до як завгодно великих похибок розв‘язку. Застосування до розв‘язання таких задач чисельних методів є недоцільним, оскільки поточні похибки будуть накопичуватися при виконанні ітерацій і не дозволять отримати розв‘язок із заданою (чи обмеженою) точністю.

Нестійким також може бути чисельний метод розв‘язання задачі. Для усунення такої нестійкості вносять зміни до алгоритму методу, чи пред‘являють жорсткі вимоги до обчислювальної похибки (похибки округлення). Наприклад, обчислимо інтеграл:

При інтегруванні за частинами отримаємо:

Обчислимо значення інтегралу для :

Значення є помилковим, оскільки підінтегральна функція у всіх точках відрізку є невід’ємною. Дана помилка викликана похибкою округлення: для ; … ; для . Істинне значення з трьома значу­щими цифрами після коми дорівнює 0,0916.

Ще одним важливим поняттям є коректність постановки задачі.

Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних з деякого класу існує єдиний і стійкий за вхідними даними розв‘язок.

Для розв‘язку некоректно поставлених задач застосовувати звичайні чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зростати, спотворюючи результати розв‘язання задачі. Для розв‘язання таких задач використовують так звані методи регуляризації [2], які замінюють дану задачу коректно поставленою.