- •050101 „Комп‘ютерні науки ” та 050103 „ Програмна інженерія ”
- •Передмова
- •Розділ 1. Чисельні методи розв‘язання задач. Похибки чисельного розв‘язку
- •1.1. Основні поняття
- •1.2. Поняття стійкості та коректності задачі
- •1.3. Похибки результату чисельного розв‘язання задачі
- •Контрольні питання
- •2.1. Етап 1: відокремлення коренів
- •2.2. Етап 2: уточнення коренів
- •2.2.1. Метод половинного ділення
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод січних
- •2.2.4. Метод дотичних (Ньютона)
- •2.2.5. Метод простої ітерації
- •Контрольні питання
- •Розділ 3. Прямі та непрямі методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Методи Гауса та lu-розкладу
- •3.1. Основні поняття
- •3.2 Прямі методи розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •3.2.1. Метод Гауса
- •3.2.2. Метод lu-розкладу
- •3.2.3. Зв‘язок методу Гауса з методом lu - розкладу
- •3.3 Непрямі методи розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •3.3.1. Забезпечення збіжності ітераційного процесу
- •3.3.2. Метод простої ітерації та метод Зейделя для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •3.3.3. Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Контрольні питання
- •Розділ 4. Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона
- •Контрольні питання
- •Розділ 5. Інтерполяція функцій. Інтерполяційні поліноми Лагранжа. Сплайн-інтерполяція
- •5.1. Кусково-лінійна інтерполяція. Інтерполяційні поліноми вищих порядків. Інтерполяційний поліном Лагранжа
- •5.2. Сплайн-інтерполяція
- •Контрольні питання
- •Розділ 6. Апроксимація експериментальних даних. Метод найменших квадратів. Інтерполяція функцій за допомогою ортогональних поліномів
- •6.1. Апроксимація експериментальних даних. Метод найменших квадратів
- •6.2. Інтерполяція функцій ортогональними поліномами
- •Властивості ортогональних поліномів [5]
- •6.3. Базисні сплайни (в-сплайни)
- •Контрольні питання
- •Додаток а. Короткі теоретичні відомості по програмуванню в інтегрованій системі автоматизації математичних розрахунків MatLab
- •Додаток б. Пакети прикладних програм інтегрованої системи автоматизації математичних розрахунків MatLab
- •Перелік основних програмних продуктів класу matlab.
- •Список літературних джерел
- •Нові версії matlab
Розділ 1. Чисельні методи розв‘язання задач. Похибки чисельного розв‘язку
У сучасних математичних дослідженнях надзвичайно важливим завданням є отримання числових розв‘язків задач, які використовуються в моделях реальних фізичних об‘єктів та систем.
В більшості галузей сучасної науки і техніки часто зустрічаються математичні задачі, які не можливо точно розв‘язати класичними методами або такий розв‘язок отримується у складному вигляді, абсолютно не прийнятному для практичного використання. Наприклад, досить часто необхідно розв‘язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з десятками і сотнями невідомих. Розповсюдженим є і знаходження коренів алгебраїчних рівнянь високого порядку та коренів трансцендентних рівнянь. Нерідко приходиться мати справу з розв‘язанням систем диференційних рівнянь, які не інтегруються в елементарних функціях.
Кількість таких задач значно зросла у зв‘язку з бурхливим розвитком науки і техніки з одного боку, і можливістю застосуванням розроблених теорій в машинних моделях, які формуються та функціонують у комп‘ютерному варіанті.
Комп‘ютерну техніку використовують не тільки для побудови математичних моделей, а і для ефективного розв‘язання задач, що пов‘язанні з функціонуванням даних моделей. У зв‘язку з цими потребами виділилась область математики, яка покликана розробляти методи отримання числових результатів основних задач математичного аналізу, алгебри та геометрії, а також шляхи використання з цією метою сучасних комп‘ютерних засобів. Ця область математики отримала назву чисельні методи.
З початку застосування комп‘ютерної техніки швидкість розрахунків зросла з 0,1 = 10 -1 операцій в секунду при ручному розрахунку до 109 1011 операцій в секунду на сучасній комп‘ютерній техніці [1].
У зв‘язку з бурхливим розвитком комп‘ютерної техніки постали задачі математизації різних розділів науки: хімії, біології, економіки, геології, географії, психології, медицини, численних галузей техніки. Процес математизації полягає у побудові математичних моделей процесів і явищ та в розробці методів їх дослідження.
Застосування комп‘ютерної техніки та розширення технічної і математичної освіти різко збільшило можливості побудови й дослідження математичних моделей. Все частіше результати розрахунків дозволяють виявити і передбачити явища, що раніше не спостерігалися, що можливо завдяки виникненню і розвитку машинного (комп‘ютерного) експерименту.
Вимоги до чисельних розв‘язків нових задач привели до появи великої кількості нових чисельних методів, систематизації та переосмислення давніх методів. Застосування комп‘ютерної техніки і технологій привело до:
збільшення швидкості отримання розв‘язків, розширення пам‘яті, вдосконалення структури та технічних засобів обчислювальної техніки;
розробки програмних засобів спілкування з комп‘ютером (операційні системи, мови програмування, бібліотеки і пакети прикладних програм);
поглиблення розуміння процесів і явищ науки й техніки, природи і суспільства, створення їх математичних моделей;
вдосконалення методів розв‘язання традиційних математичних і прикладних задач, створення методів розв‘язання нових задач;
росту розуміння можливостей застосування комп‘ютерної техніки, розширення комп‘ютерної грамотності.
Ефект, що досягається вдосконаленням чисельних методів, за порядком дорівнює ефекту, що досягається за рахунок ефективності комп‘ютерної техніки. В наш час стрімко розвиваються багатопроцесорні та багатомашинні обчислювальні системи, що обумовлює необхідність розпаралелювання задач, в тому числі й задач, що реалізують чисельні методи. Тому перспективними є дослідження в області чисельних методів, що дозволять проводити ефективне розбиття задачі на підзадачі та будувати оцінки їх ефективності по часу та іншим критеріям.