Властивості ортогональних поліномів [5]

Властивості	Поліном Лежандра	Поліном Чебишева	Поліном Ерміта
Область визначення
Рекурентна формула обчислення наступних поліномів
Загальна формула опису

Узагальнений інтерполяційний поліном F(t) в даному випадку можемо записати у вигляді:

(6.21)

В обчислювальній математиці часто використовується кусково-поліноміальна інтерполяція. Так, эрмітовим кубічним інтерполянтом називається кусково-кубічний інтерполянт з неперервною першою похідною, кубічним сплайном називається кусково-кубічний інтерполянт з двома першими неперервними похідними.

6.3. Базисні сплайни (в-сплайни)

Сплайни з локальним носієм (B-сплайни). Останнім часом в обчислювальній практиці широке розповсюдження набули B-сплайни (від англійського слова bell — дзвін (колокол)), зосереджені на скінченному відрізку [7, 11]. Вони використовуються як для інтерполяції функцій, так і в якості базисних функцій при побудові методів типу скінченних елементів.

B-сплайном (базисним сплайном) ступеню n-1 дефекту 1 відносно вузлів називається функція:

(6.22)

де .

Припустимо область розв‘язку задачі розбита рівномірною сіткою . Розглянемо кілька частинних випадків В-сплайнів.

При N = 2 В-сплайн (1-го порядку) будується найпростіше:

(6.23)

або

(6.24)

Рис. 6.1. В-сплайн першого порядку.

В-сплайн 2-го порядку запишемо у вигляді:

(6/25)

При , . Побудований сплайн має наступні властивості:

а) ,

б) , (6.26)

в) .

При інтерполяції функції можемо додати граничні умови. Для інтерполяції за допомогою сплайну необхідно виконання умови:

, (6.27)

де b — коефіцієнти інтерполяції, S — B-сплайн, індекс вказує на точку, для якої побудований сплайн і в якій він досягає максимуму. Система таких співвідношень, доповнюється граничними умовами. Отримана система для визначення коефіцієнтів розкладу буде мати тридіагональну матрицю з діагональною перевагою при виконанні обмеження на довжину сусідніх кроків: вони повинні різнитися не більше ніж в рази (2.303 рази).

Кубічний В-сплайн (N = 4) має вигляд:

(6.29)

Після деяких спрощень можемо записати попередню формулу у вигляді:

Рис. 6.2. Графік кубічного В-сплайну.

Базисні сплайни (В-сплайни) заданого ступеню є лінійно незалежними функціями і утворюють базис в функціональних просторах, цю властивість можемо використати для представлення за їх допомогою інших функцій цих же просторів. Будь-яка, наприклад, кусково-постійна функція на відрізку, що вміщує інтервали рівної довжини, може бути єдиним чином представлена лінійною комбінацією В-сплайнів нульового ступеню, будь-яка кусково-лінійна функція — В-сплайнів першого ступеню і т.і. Базисні сплайни відіграють значну роль при побудові чисельних методів розв‘язання задач математичної фізики, наприклад, метода скінченних елементів в теорії наближень функцій, при розв‘язку задач комп‘ютерної графіки та інших [15, 17].