Контрольні питання

1. В чому полягає суть методів розв‘язання систем нелінійних та трансцендентних рівнянь?

2. Розкрийте фізичний сенс Якобіана.

3. За яких умов ітерації в методі Ньютона збігаються до нерухомої точки? Чому дана умова є достатньою?

4. З яких етапів складається алгоритм методу Ньютона для розв‘язання нелінійних та трансцендентних систем рівнянь?

5. В чому полягає особливість програмної реалізації алгоритму методу Ньютона для розв‘язання нелінійних та трансцендентних систем рівнянь?

6. Яким чином застосовується метод Зейделя для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь?

Розділ 5. Інтерполяція функцій. Інтерполяційні поліноми Лагран­жа. Сплайн-інтерполяція

На практиці часто приходиться розв‘язувати задачі, в яких складні функції простіше обчислити по їх наближеним аналогам [8]. Наприклад, для обчислення стандартних функцій sin(x), cos(x), e^x в пакетах прикладних програм використовуються обчислювальні процедури, які ґрунтуються на заміні заданої функції наближеними функціями, побудованими на основі поліномів n–го порядку.

Ще одним прикладом застосування поліномів є випадок, коли функція задана у вигляді таблиці вузлових точок. Для відображення поданих значень функцією і подальшому застосуванні цієї функції у розрахунках, будують поліноміальну криву y = P(x), що проходить через вузлові точки (для обчислення поліноміальної кривої повинен бути визначений проміжок, на якому будується наближення). За допомогою такої функції можливо знайти наближені значення в точках, що не є вузловими. Якщо така точка знаходиться у межах інтервалу наближення , її значення називають інтерполяційним, якщо за межами інтервалу чи – екстраполяційними. Так побудова поліному для знаходження проміжних точок називається інтерполяцією, для знаходження значень за межами заданого інтервалу – екстраполяцією. Широке застосування наближуючі поліноми знаходять також у чисельному диференціюванні, чисельному інтегруванні, розв‘язанні нелінійних рівнянь та обробці графічних зображень. Наближення реальної функції деякою простішою функцією називається апроксимацією.

Припустимо, що функція f(x) задана таблицею значень f(x₀), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n) для деякої кінцевої множини аргументів x_i (вузлові точки) і при розв‘язуванні задачі потрібно використовувати значення функції f(x) у проміжних точках. Для апроксимації функції f(x) використовують функцію (x), яку будують так, щоб у заданих точках x₀, x₁, x₂, …, x_n вона приймала значення, які збігаються зі значеннями f(x₀), f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), а в інших точках відрізку [a,b] приблизно зображувала функцію f(x). Ступінь точності опису визначається в залежності від вибраного методу апроксимації.

Найчастіше функцію (x) будують у вигляді поліному. Теорема Веєрштрасса [8] стверджує, що функція f(x) може бути досить добре наближена за допомогою полінома деякого порядку m на множині точок x₀, x₁, x₂, …, x_n. Функцію (x), яка наближує вихідну функцію f(x), у загальному випадку можна записати у вигляді:

(5.1)

де с₀, с₁, …, с_m – деякі константи. Функція f(x) вважається наближено описана поліномом (x), якщо f(x) і (x) мають однакові значення у вузлових точках. Іноді, якщо функція і поліном диференційовані на проміжку наближення [a,b], вимагають збігу у вузлах похідних f(x) і (x) визначених порядків.

На практиці в якості базисних функцій {(x)} обирають послідовність степеневих функцій відносно х : 1, x, x², x³, …, x^m, тобто (x₀)=1, (x₁)=х, (x₂)=х², …, (x_m)=х^m. В такому випадку поліном запишемо у вигляді:

(5.2)

Для знаходження коефіцієнтів с_i використаємо умову (x_j) = f(x_j), j = 0, 1, …, n і складемо систему рівнянь з (n+1) алгебраїчного рівняння.

(5.3)

Якщо m = n , система рівнянь (3) має єдиний розв‘язок за умови, що вектори лінійно незалежні. Наведена вище задача називається задачею інтерполяції.

Якщо m = n і в якості базисних функцій {(x)} вибрати степеневі функції, то система рівнянь матиме вигляд:

(5.4)

Визначник цієї системи, який називають визначником Вандермонда [6]

, (5.5)

який не перетворюється в нуль, якщо серед сукупності вузлів немає повторень. У такому випадку матриця коефіцієнтів системи рівнянь є не виродженою і система має єдиний розв‘язок.

В якості базисних функцій можемо вибрати також послідовність показникових функцій [9]:

(5.6)

де – деяка числова послідовність попарно різних дійсних чисел. У такому випадку інтерполяційний поліном запишемо у вигляді:

. (5.7)