4.5 Принятие решений об оптимизации инвестиционного портфеля

В данном параграфе мы рассмотрим классическую задачу об оптимизации инвестиционного портфеля. Рассмотренная ниже модель носит название теории оптимизации инвестиционного портфеля Гарри Марковица, который предложил ее в 1952 году [43]. Эта теория получила широкое распространение и развитие и впоследствии была удостоена Нобелевской премии по экономике.

Г. Марковиц предположил, что величины доходности ценных бумаг (облигаций) являются случайными величинами, распределенными по нормальному (гауссовскому) закону. Поэтому инвестор, формируя свой портфель, оценивает только два показателя – ожидаемую доходность и стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность распределения случайной величины при нормальном законе). Кроме того, он исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как одноразовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется.

Рассмотрим математическую модель процесса оптимизации инвестиционного портфеля в простейшей постановке.

На рынке имеется некоторое количество ценных бумаг , , каждая их которых характеризуется средним уровнем доходности , лежа-щим в пределах от  до  , или в относительных единицах от +1 до –1.

Каждая ценная бумага характеризуется также определенным уровнем риска, который является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с математическим ожиданием и стандартным отклонением от среднего . Кроме того, риски по бумагам могут быть статистически связаны, т.е. между ними может существовать зависимость, определяемая коэффициентами корреляции , которые могут находиться в диапазоне , .

Требуется составить инвестиционный портфель , включающий эти ценные бумаги, в котором доля бумаги составляет , причем

. (4.26)

При этом ожидаемая суммарная доходность портфеля составит

, (4.27)

а суммарный риск портфеля определится выражением для дисперсии статистически связанных случайных величин:

. (4.28)

Предположим, что нам известны все величины , , , . Инвестор при принятии решения может рассматривать следующие альтернативы.

1. При выбранных весах ( , ) оценить суммарную доходность и степень риска .

2. Определить веса ценных бумаг , , которые обеспечат наименьший суммарный риск, т.е. минимум функции , и вычислить соответствующую доходность.

3. Определить оптимальный по стоимости портфель при заданном уровне риска .

Рассмотрим решение этих задач.

В первом случае задача сводится к простым вычислениям по формулам (4.27) и (4.28).

Во втором случае мы имеем задачу оптимизации:

(4.29)

при условиях:

, , . (4.30)

В третьем случае также необходимо решить задачу оптимизации

(4.31)

при условиях

, (4.32)

, , .

Портфель, полученный при решении второй и третьей задачи, называют эффективным портфелем.

Для решения сформулированных и более сложных задач оптимизации инвестиционного портфеля разработаны специальные алгоритмы и программы.

Мы рассмотрим особенности задачи выбора портфеля на простом частном случае, когда портфель содержит всего две бумаги, т.е. когда . В этом случае формулы (4.26),(4.27) и (4.28) примут соответственно следующий вид:

(4.33)

Учитывая, что и , , а также приведя подобные члены в последнем выражении, получим

.

Поскольку , то выражение для фактически зависит от одной переменной – . После некоторых преобразований получим

. (4.34)

Мы видим, что дисперсия является квадратичной функцией , а следовательно, и стоимости портфеля , которая линейно зависит от . Графически эта зависимость (ее называют границей эффективности) показана на рисунке 4.8. По смыслу граница эффективности соответствует множеству Парето при решении многокритериальных задач оптимизации, которые мы рассмотрели в разделе 3.5. В нашей задаче тоже два критерия – ожидаемая доходность и уровень риска.

Используя выражение (4.34), можно найти соотношение ценных бумаг, которое обеспечит минимум риска. Для этого нужно взять производную от по и приравнять ее к нулю. Получим:

,

откуда оптимальное соотношение ценных бумаг определится формулами

, . (4.35)

Подставив полученные значения весов и в формулы (4.33), получим параметры портфеля, обеспечивающие минимальный риск и соответствующий доход .

При для решения подобной задачи необходимо вычислить и приравнять к нулю частные производные по всем весам , . В результате получится линейных уравнений относительно , к которым добавится еще условие (4.26). Решив эту систему, получим все веса , а затем вычислим остальные параметры портфеля по приведенным выше формулам.

Пример. Проиллюстрируем полученные результаты численным примером. Пусть имеется два вида ценных бумаг со следующими характеристиками: , , , , .

По формулам (4.33) и (4.35) получаем: , , , . График зависимости приведен на рисунке 3.8, его шутливо называют «пуля Марковица».

На рисунке жирной линией выделена граница эффективности портфеля, которая располагается в диапазоне от (что соответствует , ) до (что соответствует , ).

Мы видим, что в данном примере оптимальным с точки зрения риска является портфель, где преобладают ценные бумаги первого вида, хоть при этом ожидаемая доходность невелика.

В том случае, когда нужно решить третью из отмеченных задач, необходимо провести вертикальную линию из точки на оси абсцисс, соответствующей заданной дисперсии, и найти наиболее высокую точку на границе эффективности. Соответствующий пример также показан на рисунке.

Рис. 4.8 Зависимость дохода от степени риска для эффективного портфеля