3.5 Задачи об упаковке

В данном параграфе мы кратко рассмотрим еще один класс задач, связанных с анализом альтернатив и принятием решений. Эти задачи также относятся к задачам оптимизации, однако их особенность состоит в том, что переменные, по которым производится оптимизация, могут принимать только два значения – 0 или 1. Фактически это означает, что некоторая переменная может быть либо выбрана при решении задачи, либо нет.

3.5.1 Задача о рюкзаке

Имеется предметов, которые нужно упаковать в рюкзак, суммарный вес которого не может превышать . Каждый -й предмет имеет стоимость и вес . Необходимо загрузить рюкзак таким образом, чтобы стоимость загруженных предметов была наибольшей, а суммарный вес рюкзака не превышал . При этом предполагается, что , т.е. не все имеющиеся предметы поместятся в рюкзак.

К подобной постановке сводятся многие задачи: управление информационными ресурсами, загрузка корабля или самолета, размещение капитала, раскрой листов на прямоугольные заготовки и другие.

Введем -векторы и .

Обозначим переменную, определяющую выбор -го предмета: , если -й предмет упаковывается в рюкзак, и в противном случае. Эти переменные образуют вектор .

Простейшая задача о рюкзаке формулируется следующим образом.

Найти

(3.48)

при условиях

, . (3.49)

Задача (3.48), (3.49) похожа на задачу линейного программирования, но особенность ограничений не позволяет непосредственно применять, например, симплекс-метод, который может привести к нецелочисленным решениям. Однако существует большое количество методов решения этой задачи, не связанных с линейным программированием. В качестве примера приведем так называемый «жадный» алгоритм [34].

Предположим, что все предметы упорядочены по относительной стоимости:

. (3.50)

Тогда алгоритм может быть записан в виде следующего фрагмента программы на языке Паскаль.

begin

U:=0; Z:=0;

for j:=1 to n do

if U+w_j <= C then

begin x_j:=1; U:=U+w_j; Z:=Z+p_J end

else x_j:=0;

end.

Этот алгоритм определяет суммарный вес рюкзака U, суммарную стоимость упакованных предметов Z, а также оптимальный вектор .

Пример. К упаковке представлено 10 предметов, параметры которых приведены в таблице 3.5. Суммарный вес предметов, как видно из таблицы, равен кг. Общий вес рюкзака не должен превышать кг.

Таблица 3.5

Решение задачи о рюкзаке

				Упорядоченные	Упорядоченные номера
1	100	5	20	1.14	9
2	250	15	16.7	1,85	4
3	120	43	2,8	2,2	10
4	370	200	1,85	2.8	3
5	50	10	5,0	5,0	5
6	70	12	5,83	5,45	8
7	100	10	10,0	5,83	6
8	300	55	5,45	10,0	7
9	400	350	1,14	16,7	2
10	220	100	2,2	20	1

В соответствии с рассмотренным алгоритмом упорядочиваем предметы по величине отношения , а затем начинаем наполнять рюкзак. Нетрудно видеть, что будут выбраны предметы 9, 4, 10, 3, 5, 6, 7, 2, 1, а предмет 8 в рюкзак не войдет.

Таким образом, вектор оптимальной загрузки имеет вид

.

Суммарный вес рюкзака получился 745 кг.

Общая стоимость загруженных предметов

1680 руб.