3.4 Транспортная задача

В качестве следующего примера задачи оптимизации при принятии решений рассмотрим так называемую транспортную задачу, которая также часто встречается на практике [26].

Задача формулируется следующим образом. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать «прикрепление» потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определен-ному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.

Пусть имеется складов, на каждом из которых имеется запас продукции , и потребителей, потребности каждого составляют , , при этом предполагается, что суммарные запасы на складах и суммарные потребности потребителей совпадают:

. (3.41)

Стоимость доставки единицы товара со склада номер потребителю номер составляет рублей.

Обозначим количество товаров, поставляемых со склада номер потребителю номер , , .

Должны выполниться следующие условия.

• Все товары со складов должны быть вывезены:

, . (3.42)

• Все потребители должны быть удовлетворены:

, . (3.43)

• Все должны быть неотрицательными: .

Принятие решение заключается в составлении плана перевозок, т.е. выборе объемов поставок товара со склада потребителю . При этом суммарные затраты на перевозку должны быть минимальными:

. (3.44)

Пример. Рассмотрим решение транспортной задачи, исходные данные к которой представлены в таблице 2.7.

Таблица 3.4

Исходные данные к транспортной задаче

	потре-битель 1	потре-битель 2	потре-битель 3	потре-битель 4	запасы на складах
Склад 1	2	5	5	5	60
Склад 2	1	2	1	4	80
Склад 3	3	1	5	2	60
Потребности	50	40	70	40	200

В приведенной таблице, кроме объемов потребностей и величин запасов, указаны стоимости доставки единицы товара со склада потребителю  ( , ).

Таким образом, всего в задаче имеется 12 переменных . Они удовлетворяют двум группам ограничений.

Во-первых, заданы запасы на складах:

(3.45)

Во-вторых, известны потребности клиентов:

(3.46)

Итак, всего имеется 7 ограничений типа равенств. Кроме того, все переменные неотрицательны – еще 12 ограничений.

Целевая функция – стоимость перевозки, которую необходимо минимизировать, имеет вид:

(3.47)

В литературе рассматриваются различные варианты постановки и решения транспортной задачи. Количество переменных и ограничений в транспортной задаче обычно достаточно велико, и для ее решения разработаны специальные алгоритмы, реализованные в соответствующих программах. Такие программы обычно входят в популярные математические пакеты, их можно также найти в Интернете.

В нашем примере оптимальный план перевозок выглядит следующим образом.

Мы видим, что все ограничения (2.48) и (2.49) выполнены, а общие затраты на перевозку товаров составили F_opt=330 единиц.