3.3 Задачи оптимального планирования производства

Приведенные в п. 3.2 соотношения позволяют формулировать задачи оптимального планирования производства [10]. Для этого предварительно необходимо проделать следующие операции:

• составить все необходимые технологические карты, на их основе рассчитать матрицы и , а также определить векторы .

• принять решение о критерии оптимизации. В частности, таким критерием может быть:

а) максимум выхода продукции (3.14),

б) минимум расхода сырья (3.16),

в) минимум отходов (3.17).

В практике планирования производства возможны различные постановки задач оптимизации. Ниже рассмотрены три наиболее типичных случая.

Первый случай планирования

Заданы:

• спецификация вырабатываемой продукции ,

• матрицы и ,

• векторы ,

Требуется определить:

• оптимальную по выбранному критерию спецификацию сырья – вектор ;

• план производства , обеспечивающий получение спецификации .

Последнее условие запишется в виде равенства

. (3.18)

Поскольку спецификация сырья заранее не ограничена и можно выбирать любое сырье, то справедливо неравенство

. (3.19)

Критерии оптимизации могут быть двух видов:

• минимум расхода сырья

где ; (3.20)

• или минимум отходов

. (3.21)

Использование в качестве критерия максимума выхода продукции (2.17) в рассматриваемой задаче не имеет смысла, т.к. спецификация продукции жестко задана.

Задачи (3.18), (3.19), (3.20) и (3.18), (3.19), (3.21) представляют собой задачи линейного программирования, которые можно решить с помощью стандартных программ, реализующих алгоритм симплекс-метода. Решив эти задачи и получив оптимальный вектор , можно затем определить искомую оптимальную спецификацию сырья (вектор ):

. (3.22)

Второй случай планирования

Заданы:

• спецификация сырья ,

• матрицы и ,

• векторы .

Требуется определить:

• оптимальную по выбранному критерию спецификацию вырабатываемой продукции ,

• план производства , обеспечивающий полное использование сырья и получение оптимальной спецификации продукции .

В этом случае задача оптимизации ставится следующим образом: найти такой оптимальный план производства , который удовлетворяет ограничениям

, (3.23)

(3.24)

и обеспечивает экстремум одного из критериев:

• максимум выпуска продукции , (3.25)

• минимум отходов . (3.26)

Использование в качестве критерия оптимизации минимума расхода сырья в данной постановке невозможно, т.к. объемы сырья заданы. Как и в предыдущем случае, решив с помощью стандартной программы задачи (3.23), (3.24), (3.25) или (3.23), (3.24), (3.26), получим оптимальный план производства , а затем искомую оптимальную спецификацию продукции

. (3.27)

Третий случай планирования

Это наиболее распространенный случай планирования производства, он заключается в следующем.

Заданы:

• спецификация сырья ,

• плановая спецификация вырабатываемой продукции ,

• матрицы и ,

• векторы .

Требуется определить оптимальный по выбранному критерию план производства продукции из имеющегося в наличии сырья с целью выполнения заданной спецификации продукции .

В данном случае ограничения имеют вид

• , (3.28)

• , (3.29)

а критерий оптимальности задается одним из выражений:

• максимум выпуска продукции

, (3.30)

• минимум отходов

, (3.31)

• минимум расхода сырья

. (3.32)

Найдя план производства как решение неравенств (3.28), (3.29) с условиями (3.30), (3.31) или (3.32), необходимо затем вычислить фактические спецификации вырабатываемой продукции и используемого сырья .

Пример. Рассмотрим пример принятия решения о производстве пиломатериалов из круглых бревен [10].

Требуется составить план раскроя бревен четырех размерных групп со средними диаметрами вершинной части 38. 42, 46 и 50 сантиметров на пиломатериалы 12 сечений с использованием 12 технологических карт (поставов). При этом нужно выполнить заданную спецификацию пиломатериалов и обеспечить минимум расхода сырья.

Характеристики сырья приведены в таблице 3.2, а характеристики карт раскроя – в таблице 3.1.

Таблица 3.2

Характеристики сырья

Средний диаметр, см	38	42	46	50
Объем1 бревна, куб. м.	0,73	0,89	1,08	1,26
Запас сырья данного вида,штук	200	200	200	200

.

Плановая спецификация вырабатываемых пиломатериалов определена таблицей 3.3.

Таблица 3.3

План выработки пиломатериалов

Номер сечения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
План выработки пиломатериалов, куб.м.	3	11	6	13	11	10	12	11	18	23	18

Поскольку и спецификация сырья, и спецификация пиломатериалов заданы, мы имеем третий случай планирования производства, причем критерием оптимальности служит минимум расхода сырья.

Выпишем все исходные данные задачи. Матрица определится таблицей 3.1.

Матрица применимости карт раскроя к видам сырья также определяется таблицей 3.1 и имеет вид

. (3.33)

Векторы спецификаций сырья и пиломатериалов определяются соответственно таблицами 3.2 и 3.3 и имеют следующий вид.

(3.34)

Вектор расхода сырья по каждой карте раскроя определится объемами бревен тех размерных групп, к которым применима данная карта раскроя. На основе таблицы 3.1 вычислим вектор

Задача формулируется следующим образом: определить, сколько штук бревен нужно раскроить с помощью каждой из имеющихся карт , т.е. найти такой план раскроя

(3.35)

который бы удовлетворял системе ограничений

(3.36)

и доставлял минимум критерию

(3.37)

Сформулированная задача решалась с использованием стандартной программы, реализующей симплекс-метод. В результате расчета были выбраны карты раскроя с номерами 3, 6, 7, 9 и 10, а остальные карты не использовались. Полученный вектор оптимального выпуска продукции после округления значений до ближайшего целого числа имеет вид

(3.38)

При этом фактически будет выработана следующая спецификация продукции (в куб.м):

Мы видим, что план по выпуску продукции выполнен, а по ряду позиций – и перевыполнен.

Фактически израсходовано следующее количество сырья (штук бревен):

. (3.39)

Сравнивая полученные цифры с заданной спецификацией (3.34), мы видим, что получилась значительная экономия сырья.

Значение критерия оптимизации (общий объем израсходованного сырья) составил

(куб.м). (3.40)