3.2 Математическая модель планирования производства
Рассмотренная ниже модель предназначена для принятия решения об оптимизации плана выпуска различных видов продукции из имеющихся нескольких видов сырья [10]. Такие задачи возникают в нефтепереработке, пищевой промышленности, при раскрое плит на заготовки, или круглого леса на пиломатериалы, а также в других областях.
Имеется
видов сырья, из которого нужно изготовить
видов продукции. Каждый из видов сырья
может быть использован различным
способом в соответствии с технологическими
картами, которые мы будем считать
заданными. Обозначим
объем
-й
продукции при обработке сырья j-м
способом (
;
).
Здесь
общее
количество технологических карт. Эти
величина образуют
матрицу
,
в которой каждая строка соответствует
одному виду продукции, а каждый столбец
– технологической карте.
Карты пронумерованы
все подряд, но каждая карта пригодна
для обработки только определенного
вида сырья. Этот факт может быть описан
с помощью переменных
,
которые принимают значение 1, если
-я
карта может быть использована для
обработки сырья
-го
вида, и значение 0 в противном случае
(
;
).
Переменные
образуют
‑ матрицу
,
состоящую из нулей и единиц следующего
вида:
. (3.9)
В этой матрице каждая строка соответствует одному виду сырья, а каждый столбец – одной технологической карте.
Принятие решения
в данной задаче состоит в определении
интенсивности использования способов
производства продукции, т.е. технологических
карт. Обозначим
количество сырья, обработанного при
использовании
-й
технологической карты. Эти величины
образуют вектор-столбец
,
который называют планом
производства.
Если план производства задан, то
количество произведенной продукции
-го
вида
вычисляется по формуле
. (3.10)
Всю спецификацию
вырабатываемой продукции можно
представить в виде вектора-столбца
,
который может быть представлен как
произведение матрицы
на вектор
:
. (3.11)
Общий объем (или
стоимость) продукции, производимой при
плане производства
,
определится путем сложения объемов по
всем ее видам:
. (3.12)
С учетом (2.13), изменяя порядок суммирования, получим:
. (3.13)
В этой формуле
- общий объем (или стоимость) продукции
всех видов, получаемой из единицы сырья
при использовании в производстве
‑й
технологической карты. Эти величины
также могут быть объединены в вектор-столбец
размерностью M:
.
Получим более компактную запись для общего объема продукции:
.
(3.14)
Обратимся теперь
к сырью. Пусть
(
)
- количество сырья
‑го
вида, идущего на изготовление продукции.
Тогда спецификация имеющегося сырья
может быть представлена в виде
вектора-столбца
.
По аналогии с формулой (3.11), спецификация сырья, подлежащего обработке при плане производства , определится выражением
. (3.15)
Каждый из видов
сырья характеризуется стоимостью (или
объемом) единицы измерения
,
(
),
и
эти
показатели тоже можно объединить в виде
вектора
.
Общая стоимость сырья, использованного в соответствии с планом производства с учетом (3.15) равна
. (3.16)
В формуле (3.16)
вектор-строка
определяет стоимость сырья, обрабатываемого
по
-й
технологической карте.
Часто при планировании
производства учитывают отходы сырья.
Пусть
,
(
)
-количество отходов, образующихся при
обработке сырья по
‑й
технологической карте. Тогда суммарные
отходы, получаемые при плане производства
,
определятся выражением
, (3.17)
где
.