9.3. Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций π₁ или π₂ новой плоскостью проекций π₄, параллельной отрезку [АВ] и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Для того чтобы отрезок в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью (рис. 79), заменяется фронтальная плоскость проекций π₂ новой плоскостью π₄ перпендикулярно π₁ и параллельной отрезку [АВ]: π₄ ⊥π₁ ∧ π₄∥[АВ]. Далее проводится новая ось проекций Х_1,4 параллельно А₁В₁ на произвольном расстоянии от нее. Такое положение оси Х_1,4 обусловливается тем, что π₄ параллельна [АВ].

Рис. 79

Используя новую ось Х_1,4 струятся новые проекции точек А₄ и В₄ на плоскости π₄. Таким образом отрезок [АВ] в новой системе плоскостей проекций π₁/π₄ является фронталью, а, следовательно, отрезок [АВ] и угол его наклона к плоскости π₁ проецируется на плоскость π₄ в истинную величину ([А₄В₄] = [АB]; угол α – угол наклона отрезка [АB] к плоскости π₁).

Задача 2. Получение проецирующей прямой.

Решение. Задача решается двумя заменами. При первой замене прямая общего положения переводится в прямую уровня, а при второй замене прямая уровня переводится в проецирующей положение.

Рассмотрим решение задачи на примере рис. 80. Здесь при замене плоскости π₂ на плоскость π₄ прямая общего положения т(А,В) переводится в прямую уровня (π₁ /π₂ → π₁ /π₄).

При второй замене прямая уровня переводится в проецирующие положение. Для этого плоскость π₁ в старой системе π₁/π₄ заменяется плоскостью π₅ новой системы π₄/π₅ одновременно перпендикулярно прямой т и плоскости π₄: π₅⊥т ∧ π₅⊥π₄. Таким образом в новой системе прямая т станет проецирующей относительно плоскости π₅.

Рис. 80

Построения на эпюре, при второй замене, заключаются в следующем. Новая ось проекций Х_4,5 проводится перпендикулярно натуральной величине прямой т₄ на произвольном расстоянии от нее: Х_4,5 ⊥т₄. Такое положение оси Х_4,5 обусловливается тем, что плоскость π₅ перпендикулярна прямой т(А,В). Учитывая, что расстояния точек А и В до плоскости π₄ одинаковы, то проекции их на плоскости π₅ совпадут, т. е. прямая станет проецирующей т₅(А₅≡В₅).

Рис. 81

3адача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую.

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость π₁ или π₂ исходной системы π₁ /π₂ новой плоскостью π₄, перпендикулярной плоскости λ(∆АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости λ, преобразовать в проецирующую, то плоскость λ в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня (см. задачу 2).

На эпюре (рис. 81) плоскость λ(∆АВС) преобразована во фронтально-проецирующую путем преобразования горизонтали h(h₁, h₂), принадлежащей плоскости λ, во фронтально проецирующую прямую (см, основная задача 2). В новой системе плоскостей проекций π₁/π₄ плоскость λ является фронтально-проецирующей, и поэтому ее проекция на π₄ вырождается в прямую линию λ₄(А₄, В₄, С₄). На рис. 81 величина угла α является натуральной величиной угла наклона плоскости λ к плоскости π₁.

3адача 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня.

Решение. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале заданную плоскость необходимо преобразовать в проецирующую плоскость, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

На рис. 82 показано преобразование плоскости общего положения λ(∆АВС) в фронтально-проецирующею путем замены плоскости π₂ на плоскость π₄ (задача 3). Затем эта плоскость переводится в горизонтальную плоскость уровня следующим образом.

Вначале, проводится новая ось проекций Х_4,5 параллельно вырожденной проекции плоскости λ₄(А₄, В₄, С₄) на произвольном от нее расстоянии. Такое положение оси проекций Х_4,5 обусловливается тем, что π₅ параллельна плоскости

Затем, строятся проекции точек А₅, В₅ и С₅ на плоскость π₅. Следует отметить, что треугольник ∆А₅В₅С₅ является натуральной величиной треугольника ∆АВС, т.к. плоскость λ(∆АВС) параллельна плоскости π₅: λ(∆АВС)∥π₅ =˃ ∆А₅В₅С₅=∆АВС.

Рис. 82