7.4. Контрольные вопросы

1. Какие прямые относятся к главным линиям плоскости?

2. Какая прямая называется горизонталью плоскости и как она строится на эпюре?

3. Какая прямая называется фронталью плоскости и как она строится на эпюре?

4. Какая прямая называется линией наибольшего ската плоскости и как она строится на эпюре?

5. Какая прямая называется линией наибольшего наклона плоскости и как она строится на эпюре?

6. Как строится линия пересечения плоскости общего положения проецирующей плоскостью?

7. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего положения?

8. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения?

9. Как определяется видимость на эпюре прямой относительно плоскости?

10. Как определяются точки встречи проецирующей прямой с плоскостью общего положения?

11. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плоскостью частного положения?

Лекция 8. Позиционные задачи

8.1. Построение линии пересечения плоскостей общего положения.

8.2. Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через задан­ною точку.

8.3. Построение плоскости проходящей через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой.

8.4. Построение прямой параллельной заданной плоскости.

8.5. Перпендикулярность и параллельность плоскостей.

8.6. Контрольные вопросы.

8.1. Построение линии пересечения плоскостей общего положения

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.

Для нахождения таких точек используется методика по определению точки встречи прямой с плоскостью, только при этом в качестве плоскости выбирается одна из заданных плоскостей, а в качестве прямой – прямая, принадлежащая другой плоскости.

Рассмотрим, как это делается, на следующем примере (рис. 71).

Рис. 71

Постановка задачи. Даны две плоскости общего положения α, заданная треугольником ∆АВС и β – двумя параллельными прямыми m и n.

Построить прямую l пересечения плоскостей α и β: l=α∩β и определить видимость плоскостей, ограниченных ∆АВС и параллельными прямыми m и n.

Решение

1. Определяем первую точку М принадлежащею линии пересечения плос­костей l, как точку встречи прямой m с плоскость α: M⊂l; М=m∩α.

2. Определяем вторую точку N принадлежащею линии пересечения плос­костей l, как точку встречи прямой n с плоскость α: N⊂l; N=n∩α.

3. Через точки M и N проводим прямую пересечения плоскостей α и β: l=α∩β.

4. Устанавливаем видимость плоскостей α и β относительно друг друга. Для горизонтальной плоскости проекций с помощью горизонтально конкурирующих точек 5 и 6 (точка 6 лежит на стороне АС треугольника, а точка 5 – на прямой т). Для фронтальной плоскости проекций с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 7 (точка 1 лежит на стороне АС треугольника, а точка 7 – на прямой п). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символами (⇧) и (⇩).

8.2. Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку

При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить перпендикуляры к плоскости. Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве этих двух пересекающихся прямых плоскости приходится использовать линии уровня плоскости, т.к. согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях. Условия перпендикулярности прямой и плоскости устанавливаются следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы прямая была бы перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была бы перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что прямая перпендикулярна к плоскости. Тогда она перпендикулярна к любым прямым этой плоскости, в том числе горизонталям и фронталям плоскости. Согласно теоремы о проецировании прямого угла, перпендикулярность прямой и горизонтали сохраняется на горизонтальной плоскости проекций, а перпендикулярность прямой и фронтали – на фронтальной плоскости проекций. Что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Тогда в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямая в пространстве будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали плоскости. А это значит, что прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Рис. 72

Установленные теоремой при­знаки позволяют строить на комплексном чертеже прямые, перпендикулярные к плоскости.

Пример построения перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку (рис. 72).

Постановка задачи. Задана плоскость α треугольником ∆АВС и точка К.

Построить перпендикуляр т к плоскости α, проходящей через точку К.

Решение

1. В плоскости α проводится горизонталь h: hα и h‖π₁.

2. Используя теорему о прямом угле строится первая проекция перпендикуляра m: m₁⊥h₁ и К₁⊂m₁.

3. В плоскости α проводится фронталь f: fα и f‖π₂.

4. Используя теорему о прямом угле строится вторая проекция перпендикуляра m: m₂⊥f₂ и К₂⊂m₂.