7.2. Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения

Пусть пересекаются две плоскости. Одна из плоскостей проецирующая, а другая плоскость общего положения. Необходимо определить линию пересечения этих плоскостей.

Известно, что на эпюре одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую. Используем этот характерный признак для определения линии пересечения плоскостей.

Рис. 66

Так как линия пересечения плоскостей принадлежит проецирующей плоскости, то тогда ее проекция совпадет с вырожденной проекцией проецирующей плоскости. Следовательно, решение задачи по определению линии пересечения плоскостей сводится к определению недостающей проекции этой прямой, как прямой принадлежащей плоскости общего положения.

Рассмотрим решение такой задачи на примере (рис. 66).

Дано: плоскость общего положения α(∆АВС) и горизонтально-проецирующая плоскость.

Определить линию пересечения плоскостей α∩β=l.

Решение

1. Так как β(m∩n)  π₁ =>l₁≡m₁≡n₁.

2. l₁∩A₁B₁=1₁ и l₁∩A₁С₁=2₁.

3. 1AB=>1₂A₂B₂ и 2AС=>2₂A₂С_2.

4. Через полученные точки 1₂ и 2₂ строится l₂(1₂2₂).

7.3. Определение точки встречи прямой с плоскостью

Определение точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рис. 67

Эта позиционная задача (как и большинство других позиционных задач) решается с помощью вспомогательной плоскости. Пусть задана прямая n общего положения и плоскость α общего положения. Необходимо найти их точку пересечения К (рис. 67). Задача решается в следующей последовательности.

1. Заданная прямая n заключается во вспомогательную плоскость β: nβ.

2. Строится прямая l пересечения заданной плоскости α со вспомогательной плоскостью β: l(1 2)= α∩β.

3. Построенная прямая 1 2 и заданная прямая n лежат в одной плоскости β, а значит будут пересекаться между собой: K=l∩n. Их общая точка K является общей для прямой n и плоскостей и β, а значит, является искомой точкой пересечения прямой n и плоскости α.

В качестве вспомогательной плоскости чаще всего используют проецирующие плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на комплексном чертеже (рис. 68).

Рис. 68

Заключаем прямую n во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β, которую зададим горизонтальным следом β₁ (горизонтальная проекция плоскости). Причем след β₁ должен совпадать с горизонтальной проекцией прямой n₁. Далее находим прямую l пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α. Сторона АВ пересекается с плоскостью β в точке 1, а сторона АС – в точке 2. Сначала отмечаем горизонтальные проекции точек 1₁ и 2₁, а затем с помощью вертикальных линий связи находим фронтальные проекции точек 1₂ и 2₂ соответственно на фронтальных проекциях сторон треугольника А₂В₂ и А₂С₂. Таким образом, плоскости пересекаются по прямой l(1 2). Теперь можно определить фронтальную проекцию К₂ искомой точки. Она будет являться точкой пересечения фронтальных проекций построенной прямой l(1₂2₂) и заданной прямой n₂. Горизонтальная проекция К₁ определяется с помощью вертикальной линии связи на горизонтальной проекции прямой n₁.

Затем нужно определить видимость прямой n относительно плоскости α. Для определения видимости на необходимо воспользоваться горизонтально конкурирующими точками 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Видимость прямой на π₂ определяем с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5 (точка 5 лежит на стороне ВС, а точка 4 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇩).

Определение точки встречи прямой общего положения с проецирующей плоскостью.

Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая плоскость α треугольником ∆АВС и прямая n общего положения (рис. 69). Необходимо определить точку встречи К прямой n с плоскость α: К =n∩α.

Решение. Проекция точки встречи К₁ прямой n с плоскостью α однозначно определяется как точка пересечения горизонтальной проекции плоскости (вырожденной в прямую) с одноименной проекцией прямой: К₁=l₁∩α₁(∆A₁B₁C₁).

Рис. 69

Недостающая фронтальная проекция точки встречи К₂ находится по принадлежности точка К прямой n: Кn => К₁n₁.

Видимость прямой n относительно плоскости α определяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π₁ обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 2 (точка 2 лежит на стороне ВС треугольника, а точка 1 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇧).

В задачах, где используется фронтально-проецирующая пло­скость, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.

Определение точки встречи проецирующей прямой с плоскостью общего положения.

Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая прямая n (рис. 70) и плоскость общего положения α(∆АВС). Необходимо определить точку встречи К прямой n с плоскость α: К =n∩α.

Решение. Очевидно проекция точки встречи К₁ прямой с плоскостью α совпадает с вырожденной проекцией прямой n₁: К₁ ≡n₁: Учитывая то, что точка К принадлежит плоскости α, то задача сводится к определению недостающей проекции точки принадлежащей плоскости. Для этого, вначале, через вырожденную проекцию n₁ проводится проекция вспомогательной прямой l₁ в предположении, что эта прямая l принадлежит плоскости α: lα => l₁α₁. Затем, достраивается недостающая фронтальная проекция этой прямой l₂. Точка пересечения фронтальных проекций заданной n₂ и вспомогательной l₂ прямых является искомой проекцией точки встречи К₂.

Видимость прямой n относительно плоскости α определяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π₁ обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Направление взгля­да при определении видимости про­екций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇧).

Рис. 70

В задачах, где используется фронтально-проецирующая прямые, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.