Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии нормальных случайных величин
Для случайной
величины
,
имеющей гауссово распределение, найдены
точные методы построения доверительных
интервалов оценок математического
ожидания и дисперсии.
Если
случайная величина
распределена нормально с математическим
ожиданием
и дисперсией
,
то случайная величина
(8.19)
имеет
распределение с
степенями свободы, а случайная величина
(8.20)
подчиняется
закону распределения Стьюдента с
степенями свободы.
В
формулах (8.19–8.20)
и
– точечные оценки математического
ожидания и дисперсии в соответствии с
(8.17).
Для обоих неизвестных
параметров
и
необходимо построить доверительные
интервалы.
Для математического
ожидания величину
(половину длины доверительного интервала)
выбираем из условия
. (8.21)
В
левой части выражения (8.21) перейдем от
случайной величины
к величине
,
распределенной по закону Стьюдента.
Для этого умножим обе части неравенства
на положительную величину
и получим
,
а при использовании (8.20)
,
где
величину
находим из условия
или
.
По
таблице процентных точек распределения
Стьюдента (прил. 4) находим значение
и получаем
,
и соответственно доверительный интервал оценки математического ожидания будет иметь вид
. (8.22)
Для
нахождения доверительного интервала
оценки дисперсии выразим случайную
величину
через величину
в
соответствии с (8.19):
.
Знание закона
распределения случайной величины
позволяет найти доверительный интервал,
в который эта величина попадает с
вероятностью
.
Поскольку распределение
асимметрично (см. рис. 8.8), брать
интервал
симметричным, как для нормального
распределения или распределения
Стьюдента, неправомерно. Поэтому
доверительный интервал строят так,
чтобы площади под кривой распределения
от 0 до
и от
до бесконечности были равны
:
; (8.23)
. (8.24)
Для
интеграла (8.24) при заданном
по таблице процентных точек
распределения (прил. 3) находят
.
Для получения
перепишем выражение (8.23) в виде
,
откуда
.
Таким образом, получаем для случая неизвестного математического ожидания
,
а доверительный интервал
(8.25)
накрывает
неизвестную дисперсию с заданной
вероятностью
.
Пример.
Проведено
независимых измерений случайной
величины
,
имеющей нормальное распределение.
Получены следующие результаты: 20, 21,
21, 25, 19, 22, 23, 23, 18, 21, 21, 17, 18, 24, 20, 22, 21, 19, 19,
22, 18, 23, 22, 18, 20. Необходимо определить 90
%-ные доверительные интервальные оценки
математического ожидания и дисперсии
измеренной случайной величины.
Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:
;
.
По
таблице процентных точек t-распределения
Стьюдента для
и
(прил. 4) находим, что
.
Поэтому в соответствии с (8.22) получаем
интервальную оценку математического
ожидания в виде
.
По
таблице процентных точек распределения
для
и
(прил. 3) находим, что
и
.
Таким образом, согласно (8.25) интервальная
оценка дисперсии гауссовой случайной
величины
будет иметь вид
.