158_Tv / ТВ11
.docЧАСТЬ 6
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Лекция 11
-
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.
Понятие о функции случайной величины
Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие ; устройство подвергает воздействие некоторому функциональному преобразованию и на выходе дает случайную величину (см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины , и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины .
Можно выделить три основные возникающие задачи:
1. Зная закон распределения случайной величины (или случайного вектора ), найти закон распределения выходной случайной величины (или ).
2. Зная закон распределения случайной величины , найти только числовые характеристики выходной случайной величины.
3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины , а достаточно знать только его числовые характеристики.
Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины , т. е. . Пусть случайная величина дискретна и известен ее ряд распределения:
Х: |
… |
… |
|
||||
… |
… |
, |
,
где .
При подаче на вход значения случайной величины на выходе получим с вероятностью . И так для всех возможных значений случайной величины . Таким образом, получаем табл. 6.1.
Таблица 6.1
… |
… |
||||
… |
… |
Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые могут даже совпадать.
Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значения по возрастанию, а вероятности совпадающих значений нужно сложить.
Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, получаем
. (6.1)
Таким образом, зная только закон распределения аргумента , можно найти математическое ожидание функции случайной величины.
Аналогично находим дисперсию случайной величины :
.
Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины :
.
Для непрерывной случайной величины , имеющей плотность распределения , получаем
;
;
.
Видим, что для нахождения числовых характеристик функции вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента .
Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин
В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин . В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения , а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:
1. , 3. ,
2. , 4. ,
где – неслучайная величина.
5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.
6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:
.
7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы этих случайных величин
.
Так как корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде
.
Если случайные величины не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий:
.
8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле
.
9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация
.
Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой
Если случайные величины независимые и центрированные, получаем
.
Закон распределения функции случайного аргумента
Есть непрерывная случайная величина с плотностью распределения , связанная со случайной величиной функциональной зависимостью . Требуется найти закон распределения случайной величиной .
Рассмотрим случай, когда строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале всех возможных значений случайной величиной .
Функция распределения случайной величиной по определению есть . Если функция монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной , то событие эквивалентно событию , где есть функция, обратная функции . Когда случайная величина принимает значения на участке , то случайная точка перемещается по кривой (ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности следует монотонность , и поэтому функцию распределения случайной величиной можно записать следующим образом:
.
Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной в виде
. (6.2)
Если функция на участке возможных значений случайной величиной монотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем
. (6.3)
Диапазон возможных значений случайной величиной может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от до .
Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну
. (6.4)
Пример. Пусть функция случайной величины является линейной, т. е. , где . Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения , и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения , учитывая, что обратная функция есть , а модуль ее производной равен ,
. (6.5)
Если случайная величина имеет нормальное распределение
,
то согласно (6.5) получаем
.
Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием , дисперсией и средним квадратичным отклонением .
В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины получаем случайную величину , также распределенную по нормальному закону.
Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения
Имеем систему двух непрерывных случайных величин и их сумму – случайную величину . Необходимо найти закон распределения случайной величины , если известна совместная плотность распределения системы .
Функция распределения – это площадь области на плоскости , где выполняется неравенство (см. рис. 6.3), т. е.
.
Продифференцировав это выражение по , получаем плотность распределения вероятности случайной величины
.
Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение
.
Если случайные величины и независимы, т. е. выполняется равенство , то две последние формулы примут вид:
; (6.6)
. (6.7)
В том случае, когда складываются независимые случайные величины и , то говорят о композиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись: .
Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.