3. Анализ систем управления

Каким требованиям должна удовлетворять система управления? Это зависит, прежде всего, от решаемой задачи. В задаче стабилизациинаиболее важны свойства установившегосярежима. Для следящихсистем в первую очередь нужно обеспечить высокое качество переходных процессов при изменении задающего сигнала (уставки).

В целом можно выделить четыре основных требования:

• точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значениевыхода системы, причем ошибка (разница между заданным и фактическим значением)не должна превышать допустимую;

• устойчивость – система должна оставаться устойчивой на всех режимах, не должна идти «вразнос» (корабль не должен идти по кругу при смене курса);

• качество переходных процессов – при смене заданного значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно;

• робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже втом случае, если динамика объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании.

Точность

Точность системы обычно оценивается для одного из эталонных входных сигналов. Это может быть единичный скачок

или линейно возрастающий сигнал

или гармонический сигнал с частотой ω:

Точность системы в установившемся режиме определяется ошибкой e(t) или ее изображением E(s). Для ее исследования используют передаточную функцию по ошибке W(s) e, которая связывает изображения ошибки и входного сигнала: E(s) = We(s) X(s). Определение точности системы управления подробно рассматривается в [7].

.

Устойчивость

Термин «устойчивость» используется в численных методах, механике, экономике, социологии, психологии. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Шарик на рисунке находится в устойчивом равновесии в положении А – если немного сдвинуть его с места, он скатится обратно в ямку, Рис.7.1.

Рис.7.1. Виды равновесия системы.

Однако если шарик сильноотклонить от равновесия, он может свалиться через горку вбок, то есть устойчивость нарушится.

В положениях Б и В шарик также находится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины.

В положениях Г и Д равновесие шарика нейтральное– при небольшом смещении он остается в новом положении. При этом говорят, что система нейтрально устойчива, то есть находится на границе устойчивости.

• может быть несколько положений равновесия, из них некоторые – устойчивые, а некоторые – нет;

• положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших («в большом»).

Различают различные виды устойчивости. Устойчивость автономной системы, которую вывели из положения равновесия (задали ненулевые начальные условия) и «отпустили». Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой. Если при этом рассматривается только выход системы (а не ее внутреннее состояние), говорят о «технической устойчивости» (или устойчивости по выходу). Напротив, внутренняяили математическая устойчивостьозначает, что не только выход, но и все внутренние переменные (переменные состояния) приближаются к своим значениям в положении равновесия.

В некоторых задачах основной рабочий режим – это периодические колебания, поэтому рассматривается устойчивость процессов, а не только положения равновесия.

На практике обычно важно, чтобы система не «пошла вразнос», то есть, чтобы управляемая величина не росла неограниченно при всех допустимых входных сигналах. Если это так, система обладает устойчивостью «вход-выход»(при ограниченном входе выход также ограничен). При этом нас не интересует, как меняются внутренние переменные объекта, важен только вход и выход.

Техническая устойчивость

В отличие от устойчивости «вход-выход», понятие «техническая устойчивость» относится к автономной системе, у которой все входные сигналы равны нулю. Положением равновесия называют состояние системы, которая находится в покое, то есть сигнал выхода y(t) – постоянная величина, и все его производные равны нулю. Систему выводят из положения равновесия и убирают все возмущения. Если при этом с течением времени (при t →∞) система возвращается в положение равновесия, она называется устойчивой. Если выходная координата остается ограниченной (не уходит в бесконечность), система называется нейтрально устойчивой, а если выход становится бесконечным – неустойчивой.

Внутренняя устойчивость

Говоря о внутренней устойчивости, рассматривают не только выход, но и все переменные, описывающие состояние системы. В математической теории систем вектор состояния обозначают через x(t), а уравнение движения системы записывают в виде

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения, описывающего движение рассматриваемой системы, ищется в виде:

  y(t) = y_вын(t) + y_св(t).

Здесь y_св(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

 a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_(n-1)y’ + a_(n)y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y_вын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работысистемы после окончания переходного процесса. Можно провести аналогию между системой управления и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (Рис.7.2).

Рис.7.2. Вынужденные колебания пружины

Оттянем пружину, а затем отпустим,предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y_вын = y(t ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P_osin( t + ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y_вын = y_maxsin( t +y).

Можно сказать, что устойчивостьозначает, что все движения x(t), которые начинаются близко от положения равновесия, при всех t остаются в некоторой окрестности положения равновесия. Если система не просто устойчива, а еще и возвращается в положение равновесия, то есть x(t) стремится к равновесному значению при t →∞,в этом случае говорят об асимптотической устойчивости.Например,маятник без трения – устойчивая система, а маятник с трением – асимптотически устойчивая.

Формальное определение внутренней устойчивости было введено в работах А.М. Ляпунова, поэтому такое понятие устойчивости принято называть устойчивостью по Ляпунову. Система первого порядка, с одной переменной состояния x(t), называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x*, если при начальном отклонении от положения равновесия x* не более, чем на δ, траектория движения отклоняетсяот x* не более, чем на ε, причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ(ε) :

|x₀ – x*| <δ⇒ | x(t) – x*| <ε при всех t > 0 .

Фактически это означает, что чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения равновесия.

Если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть | x(t) – x*| → 0 при t → ∞ ,система называется асимптотически устойчивой в положении равновесия x* . Выполнение условия сходимости не гарантирует устойчивость по Ляпунову. Очевидно, что асимптотическая устойчивость – более сильное требование. Положения равновесия, которые устойчивы по Ляпунову, но не асимптотически устойчивы, иногда называются нейтрально устойчивыми (маятник без трения).

Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивостиЛяпунова. Это значит, что существует такое ε >0 , что траектория x(t) выходит за границы области x(t) − x* <ε при сколь угодно малом отклонении начального состояния x₀от положения равновесия x* . Например, система переходит в другоеположение равновесия, или x(t) неограниченно возрастает.

На Рис.7.3 показаны движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем первого порядка (с одной координатой x(t) ).

Рис.7.3. Движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем.

Траекторию движения систем второго порядка обычно изображают на фазовой плоскости, где по одной оси откладывается x₁(t), а по другой – x₂(t). На следующем рисунке показаны движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем. Для простоты предполагается, что положение равновесия – это начало координат, где x₁ = x₂ = 0.

Рис.7.4. Отображение движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем на фазовой плоскости.

Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают анализ устойчивости:

• автономная линейная система (на которую не действуют внешние силы) может иметь единственное положение равновесия (в котором все сигналы равны нулю) или бесконечно много положений равновесия (шарик на плоской поверхности);

• устойчивость – это свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия:

или все ее движения устойчивы (асимптотически устойчивы), или все неустойчивы;

• асимптотическая устойчивость линейной системы «в малом» сразу означает ее устойчивость «в целом», то есть при любых отклонениях от положения равновесия;

• асимптотически устойчивая система также обладает устойчивостью «вход-выход», а просто устойчивая (нейтрально устойчивая, не асимптотически устойчивая) – нет.

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из nотдельных составляющих:

где p_i- корни характеристического уравнения

D(p) = a₀p_n + a₁p_n-1 + a₂p_n-2 + ... + a_n = 0.

Корни могут быть либо вещественными p_i = a_i, либо попарно комплексно сопряженными p_i = a_i ± j i. Постоянные интегрирования А_i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Рис.7.5.Знаки корней характеристического уравнения и устойчивость систем.

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y_св(t)_i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y_св(t)_i = const (Рис.7.5). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой _i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (Рис.7.6).

Рис.7.6.Знаки корней характеристического уравнения и характер колебаний системы.

Так как после снятия возмущения y_вын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y_св(t). Поэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Рис.7.7.Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и области устойчивости системы.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называютсялевыми, с положительными - правыми. Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a_n = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границеколебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости систем управления) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).