3. Элементарные динамические звенья

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать

 D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n = a_o(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n),

 

где p₁, p2, ..., p_n - корни полинома D(p). Аналогично

 K(p) = b_opm + b₁p^{m - 1}+ ... + bm = b_o(p - p^~₁)(p - p^~₂)...(p - p^~m),

где p^~₁, p^~₂, ..., p^~m - корни полинома K(p). То есть

Корни любого полинома могут быть либо вещественными p_i = a_i, либо комплексными попарно сопряженными p_i = a_i ± j _i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a_i ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

 (p - a_i + j _i )(p - a_i - j _i ) = (p - ai)² + _i² = p² - 2pa_i + (a_i² + _i²).

То есть

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной системы управления можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной системе управления, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть

,

W(p) = 1/p, W(p) = p, W(p) = Tp + 1, W(p) = k.

Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

Переходная функция

Часто для изучения реакции объекта управления вместе с управляющей системой на внешнее возмущение в качестве такого возмущения используется некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:

Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функциейи обозначается h(t), что показано на Рис.5.1.

Рис.5.1. Единичный скачок и реакция системы на него

При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состояний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные уравнения.

Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка:

где k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерностьвремени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена. Решая уравнение при x(t) = 1 ( t>0 ), получаем

где постоянная C₁должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует переходная характеристика, начальные условия считаем нулевыми, то есть y(0) = 0, что дает C₁= −k и поэтому

На Рис.5.2 показаны переходные характеристики при различных значениях параметра T, который называется постоянной времени звена:

Рис.5.2.Переходные характеристики в зависимости от постоянной времени

Видно, что при увеличении Tвыход yмедленнее достигает установившегося значения, равного k, то есть постоянная времени характеризует инерционностьзвена. Чем больше постоянная времени, тем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно длятого, чтобы перевести его в новое состояние. Ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную характеристику можно снять экспериментально.

Импульсная характеристика (весовая функция)

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

Рис.5.3. Прямоугольные импульсы и дельта функция.

Будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь. Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульсили дельта-функциюДирака δ(t). Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0, где он уходит в бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

, .

На графике бесконечный импульс изображается стрелкой, высота которой равна единице (см. Рис.5.3 г). Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t, кроме нуля, где она обращается в бесконечность.

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикой и обозначается w(t):

Рис.5.4. Импульсная характеристика.

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть объект должен находиться в состоянии покоя. Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Частотные характеристики

Еще один стандартный эталонный сигнал – гармонический (синус, косинус), например: x(t) = sinωt, где ω– угловая частота (в радианах в секунду). Можно показать, что при таком входе на выходе линейной системы в установившемся режиме (при больших t) будет синус той же частоты, но с другой амплитудой A и сдвигом фазы φ:

y(t) = A(ω) ⋅sin(ωt +φ(ω)) .

Для каждой частоты входного сигнала будет своя амплитуда и свой сдвиг фазы. Чтобы определить по графику фазовый сдвиг φ, нужно найти расстояние Δtпо оси времени между соответствующими точками синусоид (например, точками пересечения с осью t или вершинами). Если Δtумножить на частоту ω, получаем сдвиг фазы φ(в радианах).

На Рис.5.5 показан случай φ>0 (опережение по фазе), когда выход сдвинут «влево» по оси времени относительно входа, то есть, «идет раньше» входного.

Рис.5.5. Сдвиг выходного сигнала по фазе.

Зная передаточную функцию системы W(s) , можно вычислить амплитуду и сдвиг фазы по формулам

, .

Запись W(jω) означает, что в передаточную функцию W(s) подставляется чисто мнимое число s = jω, где j= −1 . Для каждой частоты ωзначение W(jω) = P + jQ– это некоторое комплексное число, имеющее амплитуду W(jω)= P2 +Q2 и фазу argW( jω) = arctg(Q/P) .

Функция W(jω) называется частотной характеристикой звена, поскольку она характеризует выход системы при гармонических сигналах разной частоты. Зависимости P(ω) и Q(ω)(вещественная и мнимая части W( jω) ) – это вещественная и мнимая частотные характеристики.

Функции A(ω) иφ(ω) (они для каждой частоты принимают вещественные значения) называются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками (АЧХ иФЧХ).Амплитудная частотная характеристика – это коэффициент усиления гармоническогосигнала. Если на какой-то частоте ωзначениеA(ω) >1, входной сигнал усиливается, еслиA(ω) <1, то вход данной частоты ослабляется.

По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

1) фильтр низких частот– пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковымкоэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

2) фильтр высоких частот– пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналынизкой частоты;

3) полосовой фильтр– пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω₁до ω₂;

4) полосовой режекторный фильтр– блокирует только сигналы с частотами в полосе отω₁до ω₂, остальные пропускает.

На Рис.5.6 показаны амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров этих четырех типов:

Рис.5.6.Амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров.

В радиотехнике используется понятие полосы пропускания– это ширина полосы частот, в которой значение АЧХ больше чем 1/2 от ее максимального значения.

Частотные характеристики во многих случаях можно снять экспериментально. Если объект устойчивый, на его вход подается гармонический сигнал и записывается сигнал y(t) на выходе. Определив амплитуду и сдвиг фазы для разных частот, можно построить по точкам амплитудную и фазовую частотные характеристики,Рис.5.7.

Рис.5.7. Определение амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Если объект неустойчив, то при подаче на вход синуса амплитуда колебаний на выходебудет неограниченно расти. Однако частотную характеристику все равно можно определитьэкспериментально. Для этого нужно подключить какой-нибудь регулятор, который сделаетзамкнутую систему устойчивой. Затем на вход r(t) подают синусоидальный сигнал и сравнивают сигналы x(t) и y(t) на входе и выходе интересующего нас объекта, определяя для каждойчастоты ω«коэффициент усиления» A(ω) (отношение амплитуд сигналов x(t) и y(t) ) и сдвигфазыφ(ω)

Логарифмические частотные характеристики

Частотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда развивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наибольшую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проектировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений. Один из таких подходов основан на использовании логарифмических частотных характеристик.

Вместо A(ω) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ): график, на котором по оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты (lgω), а по оси ординат – величинаL_m(ω) =20lg A(ω), измеряемая в децибелах (дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс также откладывается логарифм частоты lgω.

Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада– диапазон, на которомчастота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). Вместе ЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой (ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.

Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:

1) ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W₁( s) W₂( s) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев: 20lgA(ω) = 20lgA₁(ω) + 20lgA₂(ω); φ(ω) =φ₁(ω) +φ₂(ω) ;

2) в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.

В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза системна основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко строятся вручную.

Рис.5.8. ЛАФЧХ ифазоваяхарактеристикадля звена первого порядка

На Рис.5.8показаны точная (сплошная линия) и асимптотическая (штриховая линия) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией

при T = 1с.

Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой наклон, потому что звено относится к классу звеньев, имеющих постоянный ненулевой статический коэффициент усиления, то есть W(0) = 1 ≠ 0 .

Если W(0) = 0 , передаточная функция содержит множитель sk( k >0 ), который соответствует производной порядка k . В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равенk ⋅20 дБ/дек.

Если W(0) = ∞, звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателе есть сомножитель sk. Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен − k ⋅20 дБ/дек.

Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и знаменателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m , а знаменатель – степень n ,то наклон последней асимптоты равен 20⋅(m− n) дБ/дек. В нашем примере m− n = 0 −1 = −1.Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон− 20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ.