- •СОДЕРЖАНИЕ
- •2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
- •2.1. Математические модели.
- •2.2. Типовые схемы моделирования
- •2.3. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)
- •2.6. Марковский случайный процесс
- •Рис. 2.4. Система АЛУ – память
- •2.7 Непрерывно – стохастические модели (Q – схемы)
- •2.7.1. Системы массового обслуживания. Потоки событий
- •2.7.2. Простейший поток
- •2.7.3. Непрерывные марковские цепи. Уравнения Колмогорова
- •2.7.4.Диаграмма интенсивностей переходов
- •2.7.5 Формула Литтла
- •2.7.7. Замкнутые системы массового обслуживания (СМО с ожиданием ответа)
- •2.7.8. Распределение Эрланга. Метод этапов
- •Рис 2.20. Пример использования метода псевдосостояний
- •2.7.8. Немарковские СМО
- •3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
- •3.1. Условия применения имитационного моделирования
- •3.2. Этапы имитационного моделирования
- •3.3. Способы моделирования случайных величин
- •3.4. Равномерно-распределённые случайные числа (РРСЧ).
- •3.4.1. Методы формирования РРСЧ.
- •3.4.2. Проверка качества последовательностей РРСЧ
- •3.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения.
- •3.5.1. Метод обратной функции.
- •3.5.2. Универсальный метод
- •3.5.3. Метод исключения (отбраковки, режекции, Дж. Неймана)
- •3.5.4. Метод композиции (суперпозиции).
- •3.6. Формирование случайных векторов с заданными вероятностными характеристиками
- •3.7. Моделирование случайных событий
- •3. 8. Сетевые модели
- •3.8.1. Сети Петри
- •3.8.2. Е-сети
- •3.8.3. Сетевая модель взаимодействующих параллельных процессов в операционной системе.
- •3.9. Управление модельным временем
- •3.10. Планирование машинных экспериментов
- •3.11. Обработка экспериментальных данных
- •3.11.1. Экспериментальные оценки
- •3.11.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
- •3.11.2. Доверительные интервал и вероятность
- •3.11.3. Точность. Определение числа реализаций
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Основная литература
3.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения.
Для формирования чисел с заданным законом распределения исходным
материалом |
служат |
случайные |
величины, имеющие |
равномерное |
|||||||||
распределение. Другими словами, возможные значения yi случайной величины |
|
||||||||||||
η, имеющей |
равномерное |
распределение |
в |
интервале(0, 1), |
могут |
быть |
|
||||||
преобразованы в возможные значенияxi |
случайной |
величиныξ, |
закон |
|
|||||||||
распределения которой задан. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Существуют два основных пути такого преобразования случайных чисел. |
|||||||||||||
Первый из них состоит в реализации некоторой операции |
над |
числом |
над |
||||||||||
числом yi, формирующей |
число xi, |
имеющее |
(точно |
или |
приближенно) |
|
|||||||
заданный закон распределения. Второй |
основывается |
на |
моделировании |
||||||||||
условий |
соответствующей |
предельной |
теории |
вероятостей. Рассмотрим |
|
||||||||
некоторые из существующих методов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3.5.1. Метод обратной функции. |
|
|
|
|
|
||||||
Идея этого метода базируется на следующем утверждении. |
|
|
|
|
|||||||||
Если случайная величинаξ имеет функцию распределенияFξ(x), то |
|
||||||||||||
распределение случайной величины η=Fξ(ξ) равномерно в интервале от0 до 1 |
|
||||||||||||
(рис. 3.6.а). |
|
|
|
|
|
|
реализация{хi} случайной |
|
|||||
Иными словами, если бы у нас |
имелась |
|
|||||||||||
величины |
ξ, |
то, преобразовав ее |
с |
помощью |
функцииFξ(x), |
мы |
получим |
|
|||||
реализацию {yi} случайной |
величины η, |
равномерно |
распределенной |
в |
|||||||||
интервале от 0 до 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
yi= Fξ(xi). |
|
|
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
||
Но наша задача заключается в том, что бы, имея выборку {yi} случайной |
|
||||||||||||
величины η, равномерно распределенной в интервале от0 до 1, получить числа |
|
||||||||||||
{хi} с функцией распределения Fξ(x). Отсюда вытекает идея метода − разрешить |
|
||||||||||||
относительно |
хi уравнение (3.1), то |
есть получить |
выражение |
для |
обратной |
относительно Fξ(x) функции (рис. 3.6.б): xi= Fx-1 ( yi).
Докажем, что случайная величина, значения которой получены в соответствии с (3.1), будет иметь равномерное распределение.
Пусть η – равномерно распределена от 0 до 1. Рассмотрим случайное число x = j(h) , где функция φ – монотонна и непрерывна.
91
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F -1 |
( y) |
|
|
|||||||
|
Fξ(x) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.6. Метод обратной функции
Тогда h = j -1(x) .
Найдем функцию распределения для величины ξ :
Fx (x) = P(x < x) = P(j(h) < x) .
|
|
Ввиду монотонности функции φ справедливо |
||||||
|
|
|
-1(x)) = F (j |
j -1(x) |
|
|
-1(x))dx = j -1(x) . |
|
|
|
p(h < j |
-1(x)) = |
ò f |
h |
(j |
||
|
|
|
h |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
для получения конечного выражения учтено, что функкция |
||||||
f |
h |
(j -1(x)) |
представляет |
собой |
функцию |
плотности для равномерного в |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
интервале (0, 1) распределения и равна 1 в этом интервале и 0 вне его. Окончательно получим:
Fx (x) = j -1(x) .
Отсюда:
j(h) = F -1(h) = x . x
Таким образом, функция φ, связывающая равномерно распределённую величину η с величиной ξ, имеющую функцию распределения Fξ есть функция
F -1, т.е. обратная по отношению к Fξ. x
Рассмотрим пример использования метода обратной функции.
Надо получить число с показательным законам распределения. Для него функция плотности имеет вид:
f x (x) = le-lx .
Получим функцию распределения для показательного закона:
92
x |
x |
Fx (x) = ò f (x)dx = òle-l x dx =1 - e-l x . |
|
0 |
0 |
В соответствии с тем, что было рассмотрено выше, если в это выражение подставить величину xi, имеющую показательное распределение, то в результате получится число yi, равномерно распределенное от 0 до 1:
|
yi =1 - e-l xi , |
||
или |
1 - yi = e-l xi . |
||
|
Прологарифмируем обе части уравнения: |
||
|
ln(1 - yi ) = -l xi . |
||
|
Отсюда |
||
|
хi = - |
1 |
ln(1 - yi ) . |
|
|
||
|
|
l |
Если величина yi равномерно распределена от0 до 1, то и 1- yi будет обладать этим же свойством, поэтому окончательно:
1
хi = - l ln( yi ) .
Итак, если в нашем распоряжении имеются числа{yi}, равномерно распределенные от 0 до 1, то, воспользовавшись полученным выражением, можно вычислить последовательность чисел{хi}, имеющих показательное законам распределение.
3.5.2. Универсальный метод
Для использования метода обратной функции необходимо иметь в явном виде аналитическое выражение для функции распределения вероятностейFξ(x). Как правило, законы распределения задаются функцией плотностиfξ(x) а функцию распределения получают интегрируя fξ(x):
x
Fx (x) = ò fx (x)dx .
-¥
Для многих распределений использование метода обратной функции в аналитическом виде оказывается затруднительным или невозможным по ряду причин:
а) интеграл от fξ(x) не берётся, либо после интегрирования получается выражение, требующее больших затрат машинного времени;
б) описание вида распределения получено экспериментально в виде гистограммы.
В этих случаях используют универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности.
93
Пусть требуется получить последовательность случайных чисел{хi} с функцией плотности распределения fξ(x).
Если область определения случайной величиныξ не ограничена, перейдём к усеченному распределению на интервале (c,d). Разобъём интервал (c,d) на n подинтервалов (рис. 3.7)
(a0, a1), (a1, a2), ... , (an-1, an), a0=c, an=d.
Границы интервалов выбираются так, чтобы вероятность попадания в любой из подинтервалов(ak, ak+1) была постоянной, то есть не зависела отk. Для вычисления границы ak воспользуемся следующим соотношением:
ak |
1 |
|
|
Pk = ò f (x)dx = |
. |
||
|
|||
ak -1 |
n |
||
|
|
fξ(x)
a0 a1 a2 |
an-1 an |
|
|
Рис. 3.7. Кусочная аппроксимация функции плотности
В простейшем случае будем представлять fξ(x) в виде кусочно-постоянной функции, то есть считаем значение fξ(x) на xкаждом подинтервале постоянной. Тогда значение случайной величины , ξпопадающей в подинтервал(ak, ak+1) можно представить как
xk = ak + ηk*,
где:
ак |
– левая граница подинтервала; |
|
|
||
ηk* – РРСЧ, значение которого распределены от 0 до |
(ak+1- ak). |
|
|||
Таким образом, вероятность всех чисел из любого подинтервала (ak, ak+1) |
|||||
одинакова. |
|
|
|
|
|
Машинный алгоритм этого способа: |
|
|
|||
1) |
Генерируется |
РРСЧ η1 из диапазона (0, 1) и |
выбирается |
номерk |
|
подинтервала из условия: |
|
|
|
||
|
k ≤ n·η1< k+1, |
k=0, …, n-1; |
|
|
|
2) |
Генерируется |
РРСЧ η2 |
(от 0 до 1) и формируется случайная |
величина |
выходной последовательности
xk = ak + (ak+1- ak) η2.
94
Универсальный метод при кусочно-постоянной |
аппроксимацииfξ(x) |
|
|||||
весьма прост в реализации и требует малого количества операций ЭВМ. Когда |
|
||||||
требуется обеспечить |
особо высокую |
точность |
преобразования случайных |
||||
чисел могут оказаться полезными и другие виды аппроксимации, например, |
|
||||||
линейно-кусочная. Правда, выражение для получения xk |
при этом существенно |
|
|||||
усложняется. |
|
|
|
|
|
|
|
В случае, когда описание вида распределения задано в виде гистограммы, |
|
||||||
применяют модификацию универсального метода. |
|
|
|
|
|||
Пусть требуется произвести формирование случайной последовательности |
|
||||||
{хi}, причем |
закон |
распределения |
для |
нее |
представлен |
в |
|
равноинтервальной |
гистограммы (рис. 3.8), содержащей |
n |
интервалов |
с |
границами a0, a1, a2, ... , an-1, an.
Р
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 a1 a2 |
|
|
|
|
an x |
Рис. 3.8. Задание закона распределения гистограммой
Построим вспомогательную шкалу: 0, с1, с2, с3,…, сn, 1,
|
n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ci = åPi ; Рi |
– |
относительная |
частота |
попадания |
i-вй |
интервал |
||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
гистограммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Машинный алгоритм реализации способа: |
|
|
|
|
|||||
1) |
Генерируется |
РРСЧ η1 из диапазона (0, |
1) и |
выбирается |
номерk |
||||
интервала вспомогательной шкалы из условия: |
|
|
|
|
|||||
|
ck ≤·η1<ck+1, |
k=0, …, n-1; |
|
|
|
|
|
||
2) Генерируется |
РРСЧ η2 |
(от 0 до 1) и формируется |
случайная |
величина |
|||||
выходной последовательности |
|
|
|
|
|
|
|||
|
xk = ak + (ak+1- ak) η2. |
|
|
|
|
|
|||
|
Этот метод |
можно |
применить |
и в |
том , |
случаеесли |
задана f(x) в |
аналитическом виде. Для этого предварительно рассчитывают значения Рi как
ai
Pi = ò f (x)dx
ai-1
95