![](/user_photo/1992_2odKD.png)
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
- •2.1. Математические модели.
- •2.2. Типовые схемы моделирования
- •2.3. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)
- •2.6. Марковский случайный процесс
- •Рис. 2.4. Система АЛУ – память
- •2.7 Непрерывно – стохастические модели (Q – схемы)
- •2.7.1. Системы массового обслуживания. Потоки событий
- •2.7.2. Простейший поток
- •2.7.3. Непрерывные марковские цепи. Уравнения Колмогорова
- •2.7.4.Диаграмма интенсивностей переходов
- •2.7.5 Формула Литтла
- •2.7.7. Замкнутые системы массового обслуживания (СМО с ожиданием ответа)
- •2.7.8. Распределение Эрланга. Метод этапов
- •Рис 2.20. Пример использования метода псевдосостояний
- •2.7.8. Немарковские СМО
- •3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
- •3.1. Условия применения имитационного моделирования
- •3.2. Этапы имитационного моделирования
- •3.3. Способы моделирования случайных величин
- •3.4. Равномерно-распределённые случайные числа (РРСЧ).
- •3.4.1. Методы формирования РРСЧ.
- •3.4.2. Проверка качества последовательностей РРСЧ
- •3.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения.
- •3.5.1. Метод обратной функции.
- •3.5.2. Универсальный метод
- •3.5.3. Метод исключения (отбраковки, режекции, Дж. Неймана)
- •3.5.4. Метод композиции (суперпозиции).
- •3.6. Формирование случайных векторов с заданными вероятностными характеристиками
- •3.7. Моделирование случайных событий
- •3. 8. Сетевые модели
- •3.8.1. Сети Петри
- •3.8.2. Е-сети
- •3.8.3. Сетевая модель взаимодействующих параллельных процессов в операционной системе.
- •3.9. Управление модельным временем
- •3.10. Планирование машинных экспериментов
- •3.11. Обработка экспериментальных данных
- •3.11.1. Экспериментальные оценки
- •3.11.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
- •3.11.2. Доверительные интервал и вероятность
- •3.11.3. Точность. Определение числа реализаций
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Основная литература
оперативной памяти, который можно использовать для моделирования процесса функционирования системы.
Достоинства:
—требуется однократная проверка статистических характеристик;
—можно повторно воспроизводить последовательности.
Недостатки:
—запас чисел ограничен;
—занимает много места в оперативной памяти или необходимо время на обращение к внешней памяти;
—невозможно при проведении эксперимента поменять значения статистических характеристик.
Алгоритмический способ. Способ получения последовательностей
случайных |
чисел |
основан на |
формировании случайных чисел в ЭВМ |
помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое |
|||
случайное |
число |
вычисляется |
с помощью соответствующей программы по |
мере возникновения потребностей при моделировании системы на ЭВМ.
Достоинства:
—требуется однократная проверка статистических характеристик;
—можно многократно воспроизводить последовательности чисел;
—занимает мало места в памяти машины;
—не используются внешние устройства.
Недостатки:
—псевдослучайность чисел;
—Запас чисел последовательности ограничен ее периодом;
—Существенные затраты машинного времени.
Сравнение достоинств и |
недостатков |
трех перечисленных |
способов |
|||
получения |
случайных |
чисел |
показывает, ч о |
алгоритмический |
способ |
|
получения |
случайных |
чисел |
наиболее |
рационален |
на |
практике |
моделировании систем на ЭВМ.
3.4. Равномерно-распределённые случайные числа (РРСЧ).
При |
исследовании |
систем |
методом |
имитационного |
моделирования |
существенное количество операций, а, следовательно, и времени расходуется |
|||||
на действия со случайными числами. |
Поэтому наличие простых и экономных |
способов программного формирования последовательностей случайных чисел во многом определяет возможность практического использования этого метода.
В качестве исходной(базовой) последовательности случайных чисел для
имитации случайных факторов |
различной |
природы |
необходимо выбирать |
такую последовательность, которая |
может быть |
получена с |
наименьшими, по |
80
![](/html/1992/349/html_ipN6k0UFEq.LOsH/htmlconvd-iLCJzy81x1.jpg)
возможности затратами машинного времени, кромеи того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований.
Практика показывает, что в наибольшей степени этим требованиям
удовлетворяет |
|
|
последовательность |
|
случайных |
|
|
чисел |
с |
равномерным |
||||||||||||||||||||||||||
распределением в интервале (0, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Непрерывная случайная величинаη имеет равномерное распределение в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервале (a, b), если ее функции плотности (рис.3.1) и распределения (рис.3.2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеют следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ì |
|
|
|
1 |
|
|
|
x Î (a,b); |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (x) = |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
íb |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/(b-a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
x Ï (a,b). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
î0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.1. Функция плотности равномерного |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ì0 |
|
|
|
|
x £ a; |
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ï |
|
|
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ïx |
|
|
a < x < b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F (x) = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ïb |
- a |
|
|
x ³ b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
ï1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2. Функция вероятностей равномерного |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения |
|
|
|
|
|
|||||||||
Числовые |
|
|
|
характеристики |
этого |
|
|
распределения: математическое |
|
|||||||||||||||||||||||||||
ожидание, |
|
|
|
дисперсия |
и |
среднее |
|
|
квадратическое |
|
|
|
отклонение |
ра |
||||||||||||||||||||||
соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
m = |
a + b |
, D = |
( b - a )2 |
, s |
h |
= |
b - |
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
h |
12 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приа = 0, b = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
m |
= |
1 |
; |
s |
h |
= |
1 |
|
|
; |
D |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
h |
|
|
|
|
2 3 |
|
h |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но при этом следует учитывать то, машина оперирует сn-разрядными числами. Поэтому вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала(0, 1) используется дискретная последовательность2n случайных чисел того же
81
![](/html/1992/349/html_ipN6k0UFEq.LOsH/htmlconvd-iLCJzy82x1.jpg)
интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.
Рассмотрим характеристики этого распределения.
При использовании ЭВМ целые числа представляются в двоичном виде как ξ*=z1z2…zn, где zi принимает значение 0 или 1, а n – длина разрядной сетки. Если выполняется условие P(zi = 0) = P(zi =1) =0,5, то ξ* – квазиравномерно
распределённые числа. Для получения интересующей нас последовательности чисел ξ из интервала (0, 1), надо числа ξ* пронормировать.
n
При n-разрядной двоичной сетке можно представить2 различных значений :
|
|
|
|
x |
= |
|
i |
|
|
|
|
|
( i = 0,1,2,...,2n -1); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2k -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вероятность каждого значения равна 2-n . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдём математическое ожидание mx |
и среднее квадратичное отклонение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sx случайной величины ξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n -1 |
|
|
|
|
2n -1 |
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2n -1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
= |
åP x |
= |
å |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
= |
|
|
|
åi . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
i =0 |
i i |
i =0 ( 2n -1) 2n |
|
|
|
|
|
|
2n ( 2n -1) i =0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Известно, что: |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åi = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Дисперсию можно найти, используя начальный момент : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n -1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2n -1 |
|
1 |
|
|||||||||
D |
= å |
|
P x2 - m2 |
= |
å |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
= |
å i |
2 - |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
i-0 |
i i |
|
|
x |
|
|
i=0 2n |
|
|
(2n -1)2 |
|
4 |
|
|
2n (2n -1)2 i = 0 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k(k +1)(2k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Учитывая, что |
|
|
åi2 = |
, получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D = |
1 |
× |
, |
|
|
|
s |
x |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
12 2k -1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
2k -1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием равномерной случайной последовательности интервала (0, 1), а дисперсия отличается только множителем
82
![](/html/1992/349/html_ipN6k0UFEq.LOsH/htmlconvd-iLCJzy83x1.jpg)
2k +1 ,
2k -1
который при достаточно больших n близок к единице.
3.4.1. Методы формирования РРСЧ.
Наибольшее |
применение |
для |
генерации |
РРСЧ |
на |
ЭВМ |
получи |
алгоритмы вида |
xi +1 = Y(xi ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляющие собой рекуррентные соотношения первого |
поря, дляка |
|
|||||
которых начальное число х0 и постоянные параметры заданы. |
|
|
|
||||
Для получения качественной последовательности РРСЧ важен вид (Ψxi). |
|
||||||
Если рассматривать пары чисел(x1, x2), (x3, x4),…, (xi, xi+1)… как координаты |
|
||||||
точек, то, при равномерном распределении значений xi |
интервале от 0 до 1, эти |
|
точки должны равномерно заполнить единичный квадрат. Следовательно, хорошую последовательность случайных чисел может породить только такая функция Ψ(xi), график которой достаточно плотно заполняет единичный квадрат. Примером такой функции может служитьxi+1= Д(Аxi) при больших целых положительных А, где Д(Аxi) − дробная часть числа Аxi (рис. 3.3).
xi+1 |
xi+1=Д(Аxi) |
|
1 |
||
|
||
|
xi |
|
|
1 |
|
Рис. 3.3. Вид функции Ψ(xi) |
Одной |
из исторически первых процедур получения псевдослучайных |
чисел была |
процедура, получившая название метода серединных квадратов. |
Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1: xi= 0,a1a2 …a2n.
Возведем его в квадрат:
xi2= 0,b1b2…b4n ,
83
а затем выделим средние 2n разрядов полученного числа и будем использовать их в качестве очередного значения псевдослучайной последовательности:
xi+1= 0,bn+1bn+2 …b3n .
В настоящее время почти все библиотеки стандартных программ ЭВМ для вычисления последовательностей равномерно распределенных случайных чисел основаны на мультипликативном методе.
Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных целых чисел {X }, не превосходящих M, по формуле:
X i +1 = A X i (mod M ),
то есть очередное значение X i+1 получается как остаток от деления AXi на M.
Преобразование целых чисел {X } в дробные {x} из интервала от0 до 1 оcуществляется путем деления целых остатков на M:
xi=Xi/M.
В силу детерминированности метода получаются воспроизводимые
последовательности. |
|
|
|
|
Смешанный |
метод |
позволяет |
вычислить |
последователь |
неотрицательных чисел {X i } , не превосходящих M , по формуле |
|
|||
|
X i +1 = ( A X i + C) mod M , |
|
|
|
т.е. в отличие от |
мультипликативного методаC ¹ 0 . С вычислительной точки |
зрения смешанный метод генерации сложнее мультипликативного на одну
операцию сложения, но при |
этом |
|
возможность выбора дополнительного |
||
параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел. |
|||||
Процедура эта чисто детерминированная. Если раскрыть рекурентное |
|||||
соотношение то: |
|
(ai -1)C |
|||
X i = (ai X |
|
||||
0 + |
|
|
) mod М . |
||
(a -1) |
|||||
Отсюда видно, что для любого i Xi |
< m. При правильно выбранных X0, a и |
||||
C получается квазиравномерная последовательность чисел: |
|||||
|
xi = |
X i |
. |
|
|
|
М |
|
|||
|
|
|
|
|
При машинной реализации метода для увеличения периода берут
М = 2n ,
где n – разрядность машины.
84