Розв’язування диференціальних рівнянь

Теорія диференціальних рівнянь лежить в основі математичного і фізичного моделювання. Maple має можливості аналітичного та чисельного розв’язування диференціальних рівнянь різних типів – лінійних та нелінійних, класичних та спеціальних, наприклад, в частинних похідних. Maple надає також класифікацію типів диференціальних рівнянь:

Опис

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку:

Abel, Abel2A, Abel2C, Bernoulli, Chini,

Clairaut, dAlembert, exact, homogeneous, homogeneousB, homogeneousC, homogeneousD, homogeneousG, linear, patterns, quadrature, rational, Riccati, separable, sym_implicit

Звичайні диференціальні рівняння другого порядку:

Bessel, Duffing, ellipsoidal, elliptic,

Emden, erf, exact_linear, exact_nonlinear,

Gegenbauer, Halm, Hermite, Jacobi,

Lagerstrom, Laguerre, Lienard, Liouville,

linear_ODEs, linear_sym, missing, Painleve,

quadrature, reducible, sym_Fx, Titchmarsh,

Van_der_Pol

Звичайні диференціальні рівняння вищого порядку:

exact_linear, linear_ODEs, missing, exact_nonlinear, quadrature, reducible,

тобто:

• 20 типів диференціальних рівнянь першого порядку;

• 25 диференціальних рівнянь другого порядку,

• 6 типів диференціальних рівнянь вищого порядку.

Як видно з класифікації, вона охоплює більшу частину класичних диференціальних рівнянь. Крім того, Maple надає ряд функцій для розв’язання таких диференціальних рівнянь, а також систем диференціальних рівнянь.

Основні функції для розв’язання диференціальних рівнянь

Для розв’язання задачі Коші застосовують функцію dsolve з різним набором параметрів.

dsolve(ODE)

dsolve(ODE, y(x), extra_args)

dsolve({ODE, ICs}, y(x), extra_args)

dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, extra_args)

де

Параметри

ODE - звичайне диференціальне рівняння

y(x) - функція однієї змінної

ICs - початкові умови

{sysODE} - множина диференціальних рівнянь

{funcs} - множина невизначених функцій

extra_args - (опційно) залежить від типу задачі, що розв’язується

Опис

Як загальна функція для розв’язування звичайного диференціального рівняння, dsolve працює з різними типами задач, як перераховані нижче:

• Пошук розв’язків для окремих рівнянь чи системи рівнянь.

• Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь чи систем таких рівнянь з заданими початковими умовами (крайові задачі).

• Пошук розв’язків у вигляді степеневих многочленів для лінійних звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.

• Пошук формальних розв’язків для лінійних звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.

• Пошук розв’язків, застосовуючи інтегральні перетворення (Лапласа, Фур’є).

• Пошук чисельних розв’язків чи розв’язків у вигляді ряду для звичайних диференціальних рівнянь чи їх систем.

У випадку одного диференціального рівняння dsolve намагається розв’язати його зі застосуванням або класифікаційних методів, або ж симетричних методів. При використанні симетричних методів dsolve спочатку шукає джерела груп симетрії заданого ЗДР і потім використовує цю інформацію, щоб інтегрувати його, чи принаймні зменшити його порядок. Класифікаційні методи застосовуються, коли звичайне диференціальне рівняння відповідає пізнаваному шаблону (тобто є таким ЗДР, для якого метод розв’язання є вбудованим у систему), і методи симетрії використовуються для випадків, коли звичайне диференціальне рівняння не відповідає типам у класифікації.

Щоб визначити, який метод застосовується для розв’язання заданого звичайного диференціального рівняння, можна використати команду infolevel, що супроводжує розв’язок рівняння коментаріями відповідного рівня деталізації, наприклад:

> infolevel[dsolve]:= 3;

Число задає рівень деталізації, максимальне значення є 5.