4. Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних

Класичними завданнями для студентів на застосування похідних є дослідження функцій на екстремум. Покажемо на прикладах, як це робиться з допомогою Maple.

21.

> restart;y(x):=(x^2-3*x+2)/(x^2+2*x+1);

> dy(x):=simplify(diff(y(x),x));

> plot({y(x),dy(x)},x=-8..8,-9..9,color=black,thickness=[3,1]);

> extrem:=fsolve(dy(x)=0,x);

> x:=extrem;y(x):=(x^2-3*x+2)/(x^2+2*x+1);

22.

> restart;y(x):=arctan(x)-1/2*ln(1+x^2);

> dy(x):=simplify(diff(y(x),x));

> plot({y(x),dy(x)},x=-10..10,-4..1.5,color=black,thickness=[3,1]);

> extrem:=fsolve(dy(x)=0,x);

> x:=extrem;y(x):=arctan(x)-1/2*ln(1+x^2);

5. Обчислення інтегралів

Однією з найбільш широко розповсюджених операцій математичного аналізу є обчислення інтегралів різного типу. Для реалізації цього Maple надає такі функції:

int(f(x), x);

Int(f(x), x);

int(f, x=a..b);

Int(f(x), x=a..b);

int(f(x), x=a..b, continuous);

Int(f(x), x=a..b, continuous);

Першим параметром є підінтегральна функція, другим – змінна, за якою виконуються обчислення, a..b – границі інтегрування, continuous – необов’язкова додаткова умова.

У тому випадку, коли Maple не може обчислити значення інтегралу, то повертається вихідний запис інтегралу.

В аналітичному виразі невизначених інтегралів відсутня довільна стала С, але при застосуванні системи її беруть до уваги.

Нижче наведено декілька прикладів знаходження інтегралів для різного типу підінтегральних функцій.

Обчислення невизначених інтегралів

Інтегрування раціональних функцій

1.

> Int((x^2+5*x+4)/(x^4+5*x^2+4),x)=int((x^2+5*x+4)/(x^4+5*x^2+4),x);

Інтегрування ірраціональних функцій

2.

> Int(1/(x*(1+2*x^(1/2)+x^(1/3))),x)=simplify(int(1/(x*(1+2*x^(1/2)+ x^(1/3))),x));

Інтегрування тригонометричних функцій

3.

> Int(cos(x)^5,x)=simplify(int(cos(x)^5,x),trig,size);

Інтегрування різних трансцендентних функцій

4.

> Int((x^2-2*x+2)*exp(-x),x)=simplify(int((x^2-2*x+2)*exp(-x),x), size);

Інтегрування різних функцій

5.

> Int(arctan(exp(x/2))/exp(x/2)*(1+exp(x)),x)=simplify(int(arctan( exp(x/2))/exp(x/2)*(1+exp(x)),x));

Maple 9, як правило, успішно бере більшість довідникових інтегралів, але в тих випадках, коли заданий вигляд інтегралу не співпадає певним чином з виглядом, що наведено в довіднику, іноді необхідно довести вихідний інтеграл до потрібної форми. Крім того, можна скористатися функціями розкладу і конвертування підінтегральної функції в ряд Тейлора (convert, taylor), щоб отримати аналітичний вираз у вигляді полінома помірного степеня. Але все ж таки можливі варіанти, коли система не може дати ладу інтегралу складної форми.

Наприклад,

6.

> simplify(int(exp(sin(x)),x));

> convert(taylor(%,x),polynom);

Обчислення визначених інтегралів

7.

> Int((x*ln(x))^2,x=1..6);

> value(%);

> evalf(%);

При цьому значенням границь інтегрування може бути нескінченність, що позначається словом infinity в системі Maple.