Экзамен / ММвСС. Экзаменационные вопросы и ответы

Математические модели в сетях связи

Экзаменационные вопросы и ответы

© Kovalenko Leonid

1.Моделирование сетей связи, задачи моделирования, виды моделей. Математические модели сетей связи:

назначение, области применения (предметная область).____________________________________________ 3

2.Сеть связи как система массового обслуживания. Основные процессы в сети связи, показатели (параметры)

функционирования сети связи._________________________________________________________________ 4

3.Показатели качества обслуживания трафика. Понятия потерь (для сетей с КК и КП), задержки доставки данных,

вариации задержки (джиттера). ________________________________________________________________ 5

4.Обозначения систем массового обслуживания по Кендаллу-Башарину. __________________________________ 7

5.Модель трафика как потока заявок. Понятие случайного потока. Характеристики потока. __________________ 7

6.Простейший поток заявок – математическая модель, основные свойства простейшего потока. ______________ 8

7.Случайный процесс. Понятие самоподобного трафика, коэффициент Херста, метод оценки коэффициента Херста. ____________________________________________________________________________________ 9

8.Понятие абонентской нагрузки. Удельная абонентская нагрузка. Поступающая (производимая), обслуженная,

потерянная нагрузка. ________________________________________________________________________ 10

9.Модель сети с КК как системы массового обслуживания: система М/M/V при дисциплине обслуживания с потерями. Постановка задачи, оценка потерь в сети связи, 1 формула Эрланга. _______________________ 11

10.Сети с КП. Дисциплины обслуживания заявок (пакетов), модели обслуживания, показатели качества. Система М/M/V (ДО с ожиданием), 2 формула Эрланга. __________________________________________________ 12

11.Формула Полячека-Хинчина. Область применения, параметры. Частные случаи для моделей M/M/1 и M/D/1. Время ожидания в очереди, время доставки сообщения (пакета). ___________________________________ 13

12.Неравенство Кингмана. Параметры, область применения. ___________________________________________ 13

13.Аппроксимация Маршалла. Параметры, область применения.________________________________________ 14

14.Оценка потерь в сети связи на маршруте предоставления услуги _____________________________________ 14

15.Последовательность СМО. Характеристики обслуживания заявки последовательностью СМО. Функция распределения времени доставки. _____________________________________________________________ 14

16.Измерения параметров трафика. Объекты измерений, анализируемые параметры, план измерений. ________ 15

17.Точечные оценки параметров (математическое ожидание и др.). _____________________________________ 16

18.Интервальные оценки параметров трафика (доверительные интервалы). _______________________________ 16

19.Гистограммы. Интервалы между пакетами, длина пакетов. Смысловое значение гистограмм. Функции плотности вероятности и функции распределения. _______________________________________________ 16

20.Имитационное моделирование. Принцип построения дискретных событийных моделей. Упрощенная структура системы моделирования и алгоритм функционирования.__________________________________________ 18

21.Получение потока событий с заданными свойствами. Получение случайных чисел с заданной функцией распределения. Метод обратной функции. ______________________________________________________ 18

22.Расчет необходимой пропускной способности канала (линии связи) на примере услуг VoIP. ______________ 19

23.Задачи динамического программирования. Общее определение подхода к решению задачи. Пример постановки задачи, решаемой методом динамического программирования. ____________________________________ 19

24.Постановка задачи выбора оптимальной структуры сети (минимальной протяженности линий). Алгоритмы поиска кратчайшего остова графа. Алгоритм Краскала. ___________________________________________ 20

25.Постановка задачи выбора оптимальной структуры сети (минимальной протяженности линий). Алгоритмы поиска кратчайшего остова графа. Алгоритм Прима. _____________________________________________ 21

26.Постановка задачи оптимального размещения оборудования в сети, заданной графом. Минимум расстояний до всех вершин графа (узлов сети) – поиск центра графа. ____________________________________________ 22

27.Постановка задачи оптимального размещения оборудования в сети, заданной графом. Минимум суммы расстояний до всех вершин графа (узлов сети) – поиск медианы графа.______________________________ 23

28.Кластерный анализ, постановка задачи кластеризации. Алгоритм FOREL. _____________________________ 23

29.Кластерный анализ, постановка задачи кластеризации. Алгоритм k-средних. ___________________________ 25

30.Надежность сети связи, общие определения. Коэффициент готовности сети связи. ______________________ 28

31.Надежность простейших сетевых структур. Оценка коэффициента готовности (вероятности исправного состояния) для параллельной и последовательной структур, метод декомпозиции. ____________________ 29

32.Оценка коэффициента готовности (вероятности исправного состояния) для мостовой структуры. _________ 30

33.Оценка коэффициента готовности (вероятности исправного состояния) для структуры общего вида. Метод включения-исключения. _____________________________________________________________________ 30

34.Поиск самого надежного пути в сети. Постановка задачи, весовые коэффициенты ребер графа. ___________ 31

35.Задачи прогнозирования развития технологий связи (проникновения). Основные характеристики уровня развития. Линейная модель прогнозирования (линейная регрессия). ________________________________ 31

36.Задачи прогнозирования развития технологий связи (проникновения). Основные характеристики уровня развития. Логистическая модель прогнозирования (логистическая регрессия).________________________ 32

37.Задачи оптимизации. Постановка задачи оптимизации – основные этапы: предметная область, параметры управления, показатели состояния, модель, целевая функция. Пример постановки задачи оптимизации для сети с коммутацией каналов. Оптимизации качества обслуживания (минимум потерь). ________________ 33

38.Пример постановки задачи оптимизации надежности сети связи (максимум надежности). ________________ 34

39.Задачи оптимизации. Безусловная оптимизация. Условная оптимизация. ______________________________ 34

40.Экстремумы функций: определения локального и глобального экстремумов. ___________________________ 35

41.Безусловная оптимизация. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных._____________________________________________________________________ 36

42.Условная оптимизация. Метод множителей Лагранжа.______________________________________________ 38

43.Условная оптимизация. Условия Каруша-Куна-Таккера. ____________________________________________ 39

44.Численные методы оптимизации. Общая структура алгоритма. Привести примеры численных методов условной и безусловной оптимизации. _________________________________________________________________ 41

45.Оптимизация функции одной переменной. Метод дихотомии. _______________________________________ 41

46.Оптимизация функции одной переменной. Метод золотого сечения. __________________________________ 42

47.Оптимизация функции нескольких переменных. Безусловная оптимизация. Покоординатный спуск. _______ 42

48.Оптимизация функции нескольких переменных. Безусловная оптимизация. Симплекс метод Нелдера-Мида

(поиск по деформируемому многограннику).____________________________________________________ 43

49.Оптимизация функции нескольких переменных. Условная оптимизация. Метод штрафных функций. ______ 44

50.Оптимизация функции нескольких переменных. Невыпуклые функции. Эволюционный метод (генетический алгоритм). _________________________________________________________________________________ 46

1. Моделирование сетей связи, задачи моделирования, виды моделей. Математические модели сетей связи: назначение, области применения (предметная область).

Модель – это описание основных характеристик (качеств и функций) объекта.

Моделирование – способ исследования свойств (получения знаний) об объекте: аналитическое / имитационное.

Любая модель обладает следующими свойствами:

•Конечностью: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений;

•Упрощенностью: модель отображает только существенные стороны объекта;

•Приблизительностью: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

•Адекватностью: модель успешно описывает моделируемую систему;

•Информативностью: модель должна содержать достаточную информацию о системе в рамках гипотез.

Основная задача моделирования – описание свойств сетей связи и их элементов. Области применения:

•Развитие технологий связи и услуг;

•Качество обслуживания трафика (предоставления услуг);

•Надежность сети связи (доступность услуг связи);

•Экономические показатели.

Состав сети связи:

•Узлы сети (УС)

•Линии связи (ЛС)

Канало

образующая

аппаратура

Структура сети связи

Основная задача моделирования сети связи – определить соотношение между трафиком, ресурсами сети и качеством обслуживания QoS (Quality of Service).

3.Показатели качества обслуживания трафика. Понятия потерь (для сетей с КК

иКП), задержки доставки данных, вариации задержки (джиттера).

Сеть связи выполняет работу по обслуживанию трафика.

QoS (Quality of Service) — способность сети обеспечить необходимый сервис заданному трафику в определенных технологических рамках.

QoE (Quality of Experience) — качество восприятия.

Параметры QoS, определяющие качество связи:

•Скорость передачи информации (Bitrate), описывает номинальную пропускную способность среды передачи информации. Зависит от ширины полосы пропускания канала связи (Гц) и отношения сигнал/шум. Измеряется в bit/s (bps), kbit/s (Kbps), Mbit/s (Mbps), Gbit/s (Gbps).

•Задержка при передаче пакета (Delay), измеряется в миллисекундах.

o Задержка распространения (propagation delay) появляется в результате ограничения скорости распространения фотонов или электронов в среде передачи (волоконно-оптический кабель или медная витая пара);

oЗадержка сериализации (serialization delay) это время, которое необходимо интерфейсу чтобы переместить биты информации в канал передачи. Это фиксированное значение, которое является функцией от скорости интерфейса;

oЗадержка обработки и очереди в рамках маршрутизатора.

•Колебания (дрожание) задержки при передаче пакетов — джиттер.

•Потеря пакетов (Packet loss). Определяет количество пакетов, потерянных в сети во время передачи. Джиттер (jitter, вариация задержки) — нежелательные фазовые или частотные отклонения передаваемого сигнала. Джиттер в телекоммуникациях — разброс минимального и максимального времени прохождения пакета IP от среднего времени прохождения пакета. Например, посылается 100 пакетов IP. Минимальное время прохождения пакета IP — 395 мс, среднее — 400 мс, максимальное — 405 мс. В этом случае (405-400=5; 400-395=5) джиттер можно считать маленьким. Если же посылается 100 пакетов IP, и минимальное время прохождения пакета — 1 мс,

среднее — 50 мс, максимальное — 100 мс, (100-50=50; 50-1=49) джиттер большой. Например, протокол VoIP (телефонная связь по протоколу IP) очень чувствителен к джиттеру.

Потери — часть поступающей нагрузки, которая не обслуживается из-за занятости обслуживающих приборов.

Различают виды коммутационных систем:

•Коммутационные системы без потерь (поступающий вызов немедленно обслуживается);

•Коммутационные системы с потерями (поступающий вызов либо получает отказ в обслуживании);

•Коммутационные системы с ожиданием (обслуживание поступающего вызова задерживается на некоторое

время).

Различают следующие виды потерь:

•Явные (поступающий на коммутационную систему вызов, получая отказ в обслуживании, покидает систему и в дальнейшем не оказывает на систему никакого влияния; при такой дисциплине обслуживания абонент, получив сигнал "занято", отказывается от дальнейших попыток установить соединение.);

•Условные (поступающий на коммутационную систему в момент отсутствия соединительных путей вызов не теряется, а обслуживается с ожиданием или же с повторением, если вызов обслуживается после многократных повторений попыток установить соединение);

•Комбинированные.

Потери по вызовам на отрезке времени [ , ) – это отношение числа потерянных за этот отрезок времени вызовов к числу поступивших за то же время вызовов.

Потери по нагрузке на отрезке времени [ , ) – это отношение потерянной за этот отрезок времени нагрузки к поступающей за то же время нагрузке.

Потери по времени за отрезок времени [ , ) – это доля времени, в течение которого все соединительные пути, доступные группе источников, заняты.

4. Обозначения систем массового обслуживания по Кендаллу-Башарину.

5. Модель трафика как потока заявок. Понятие случайного потока. Характеристики потока.

Поток трафика (пакетов, вызовов, …) — последовательность событий, происходящих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени.

Следует различать детерминированный и случайный потоки вызовов.

Детерминированный поток вызовов — последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени.

Случайный поток вызовов отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поступления вызовов и промежутки времени между вызовами являются не строго фиксированными, а случайными величинами.

Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков.

В теории массового обслуживания и теории телетрафика основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.

Поток вызовов может быть определен тремя эквивалентными способами:

1.Последовательностью моментов времени 1, 2, . . . , ;

2.Последовательностью промежутков времени между моментами событий 1, 2, . . . , ;

3.Последовательностью чисел 1, 2, . . . , , определяющих количество вызовов, поступающих в течение

заданных отрезков времени [ 0, 1), [ 0, 2),..., [ 0, ).

Для задания случайных потоков, как и любых других случайных величин и процессов, используются функции распределения.

Функция распределения вероятностей некоторой случайной величины X:

( ) = ( < )

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени [0, ), называется ведущей функцией потока. Это неотрицательная, неубывающая функция, и в практических задачах принимает конечное значение.

Потоки с непрерывной ведущей функцией называются регулярными, а со ступенчатой сингулярными.

Свойства потока:

•Стационарность. Поток вызовов является стационарным, если при любом совместный закон распределения числа вызовов за промежутки времени [ 0, 1), [ 0, 2),..., [ 0, )

( ( 0, ), = 1,2, … , )

зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента 0.

Т.е. независимо от того, где на оси времени расположен промежуток времени [ 0, 1), вероятность поступления( 0, ) вызовов одна и та же.

Другими словами, вероятность появления событий за промежуток времени длительностью есть функция, зависящая только от и (и не зависящая от начала отсчета).

Другими словами, появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

•Отсутствие последействия. Поток вызовов является потоком без последействия, если вероятность

поступления ( 0, ) вызовов за промежутки ( 0, ), = 1, 2, … , не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента 0.

Другими словами, вероятность появления событий в любом промежутке времени не зависит от того,

появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Характеристики потоков заявок Основные характеристики потока вызовов:

•Ведущая функция потока — математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени

[0, )

•Параметр потока — характеристика потока вызывающих моментов, которая относится не ко всему отрезку [0, ), а лишь к фиксированному моменту . Предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время [ , + ) к длине этого отрезка времени → 0:

lim 1( , + ) = ( )

→0

Параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент . Тогда вероятность поступления одного и более вызовов за время [ , + ):

1( , + ) = ( ) + ( ), → 0

Для стационарного потока, вероятность поступления определенного числа вызовов за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от месторасположения на оси времени этого промежутка. Следовательно, и плотность вероятности поступления вызовов стационарного потока, т. е. его параметр ( ), есть величина постоянная, не зависящая от момента t, т. е. ( ) = :

1( , + ) = + ( ), → 0

•Интенсивность потока — математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.

6.Простейший поток заявок – математическая модель, основные свойства простейшего потока.

Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия. Математическая модель простейшего потока.

Определим вероятности поступления точно ( = 0, 1, 2, … ) вызовов на отрезках времени [ 0, 0 + ): ( 0, 0 +).

Будем рассматривать отрезок времени [ 0, 0 + + ) , который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков: [ 0, 0 + + ) = [ 0,+ 0 + ) + [ , + ).

Для того чтобы в течение отрезка [ 0, 0 + + ) поступило точно событий, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [ 0, 0 + ) поступило , или − 1, ..., или − , ..., или 0 событий и соответственно за второй промежуток 0, или 1, ..., или , ..., или событий.

Введем обозначения:

( 0, 0 + + ) — вероятность поступления точно событий за отрезок времени [ 0, 0 + + );

− ( 0, 0 + ) — ( − ) событий за первый отрезок времени [ 0, 0 + );( , + ) — событий за второй отрезок времени [ , + ).

Упростим обозначения как отрезков времени, так и вероятностей:

[ 0, 0 + + ) → [ + ); [ 0, 0 + ) → [ );

[ , + ) → [ ) и, соответственно, ( 0, 0 + + ), ( + ), − ( 0, 0 + ), − ( ), ( , + ), ( ).

Простейший поток является потоком без последействия. Поэтому независимыми являются события,

заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно вызовов за время [ + ) для каждой реализации = 0, 1, … , составляет( + ) = − ( ) ( ), = 0, 1, … , . Поскольку реализации с = 0, 1, … , представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем (уравнение Колмогорова-Чепмена)