2. Закон Дарси

Основной закон фильтрации был экспериментально установлен французским гидравликом Анри Дарси (1803—1858) на основании опытов по исследованию движения воды через трубки, заполнен­ные песком (см. рис. 5.1). По результатам этих опытов А. Дарси сформулировал вывод (закон) о том, что количество воды (Q), проходящее через трубку, заполненную дисперсным материалом.

прямо пропорционально разности уровней (АН) в крайних сече­ниях трубки, прямо пропорционально площади поперечного се­чения трубки (F). обратно пропорционально длине трубки (L — длина пути фильтрации) и прямо пропорционально постоянному для данного материала коэффициенту (А"), характеризующему проницаемость материала, заполняющего трубку. Таким образом, в общем виде закон А. Дарси (основной закон фильтрации) может быть выражен формулой

Q = KF = KF^j-= К FI, (5.9)

где F — площадь поперечного сечения трубы, см²; Н_] и Н₂ — зна­чения пьезометрического напора в крайних сечениях, см; L — дли­на трубки (пути фильтрации), см; К — коэффициент пропорцио­нальности, см/с; I — значение напорного градиента; Q — расход воды (потока), см³/с.

При оценке значения расхода воды через единичное попереч­ное сечение потока

Н, — И, Н, - Н₁ АН

_{q =} K\m-l-^ = Kf-^-+ = Kf^j- = KmI, (5.10)

где т — мощность потока, см, м; 1 /«=/— площадь поперечного сечения потока при единичной ширине, см², м²; q — удельный или единичный расход потока, см³/с, м³/сут; остальные обозначе­ния (см. 5.5).

При делении обеих частей уравнения (5.9) на площадь попе­речного сечения потока (F) получаем

^Q=_V=K^ = KF (5.11)

t L

где и — скорость фильтрации, см/с, м/сут и т.д.

Уравнения (5.9), (5.10), (5.11) являются различными формами выражения основного закона фильтрации, записанного соответ­ственно относительно расхода потока Q, единичного расхода q и скорости фильтрации v.

Коэффициент пропорциональности (К), характеризующий про­ницаемость материала, заполняющего трубку, был назван А. Дарси коэффициентом фильтрации (водопроницаемости) (см. гл. 3). Из выражения (5.11) следует, что коэффициент водопроницаемости (коэффициент фильтрации) в законе Дарси имеет размерность скорости (м/сут, см/с и др.) и численно равен скорости фильтра­ции при единичном (/=1) напорном градиенте.

Член уравнения (5.10), являющийся произведением мощности потока (площади его поперечного сечения / при ширине потока равной 1) на значение водопроницаемости (К), называется проводи­мостью (водопроводимостью, коэффициентом водопроводимости) потока или пласта, которая численно равна удельному расходу потока (q) при единичном (J= 1) напорном градиенте:

Т = Km - q, (5.12)

где Т — проводимость пласта, м²/сут.

Границы применимости закона Дарси. Основной закон фильт­рации имеет широкую область применения и является справед­ливым для большинства естественных потоков подземных вод, характеризующихся в целом относительно невысокими скоростя­ми фильтрации при линейной зависимости скорости фильтрации от напорного градиента. Нарушения линейного закона в связи с увеличением скорости фильтрации (так называемый верхний предел применимости закона Дарси) характерны в основном для высоко­проницаемых пород (карст, интенсивная трещиноватость и др.) и главным образом при резкой интенсификации фильтрационного потока в локальных зонах вблизи искусственных сооружений (скважины, шахтные стволы и др.). Нарушение линейного закона фильтрации связано с существенным проявлением сил инерции, особенно при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Переход от ламинарного течения к турбулентному характеризуется (в зависимости от среды) определенными значениями числа Рей­нольдса (N_r). При числе Рейнольдса выше критического возмо­жен переход в турбулентное движение (для движения жидкости в трубе (V_R = 2100). При движении жидкости в пористой среде чис­ло Рейнольдса определяется (Р. де Уист) из выражения

N_r=^-, (5.13)

и

где v — скорость фильтрации; v — коэффициент кинематиче­ской вязкости жидкости; d_U) — эффективный диаметр. Тем са­мым значение числа Рейнольдса зависит от скорости фильтрации и диаметра частиц минерального скелета породы, определяющего размеры пустот и, следовательно, проницаемость горной породы.

По данным, приводимым Р. де Уистом, значение /V_R, при ко­тором происходят отклонения от линейного закона фильтрации, изменяется в зависимости от размера частиц и пористости горной породы в пределах от 2 до 5.

В обобщенной форме основной закон фильтрации выражается (А. Дарси, Ф. Форхгеймер) двучленной зависимостью вида:

/ = сю + bv² = -^-(1 + сш), (5.14)

К

где а = ~ и Ь= ° — фильтрационные параметры; К — коэффи- А А

циент фильтрации при ламинарном режиме; а — коэффициент нел и ней ности фил ьтраци и.

В области линейной фильтрации при малых скоростях член bv² становится пренебрежимо малым по сравнению с av, и может ис­пользоваться основная форма закона Дарси (l=av\ v=KI). При высоких скоростях фильтрации член av становится весьма малым в сравнении с bv² (I = bv², v = K_avJ7 — формула Шези—Красно­польского). Учет нелинейности фильтрации необходим при зна­чениях av, соизмеримых с единицей.

Способы определения параметра нелинейности а и критической скорости фильтрации и рассматриваются в работах В.А. Мироненко и В.М. Шестакова.

При очень малых скоростях фильтрации в тонкодисперсных породах нарушение закона Дарси (нижний предел применимости) связано с проявлением сил молекулярного взаимодействия час­тиц воды и породы при вязкопластичном характере течения воды в субкапиллярных пустотах. По существующим представлениям (Гавич, 1988), физически связанная вода, заполняющая субкапил- лярные пустоты, остается неподвижной до определенных, доста­точно больших, значений напорного градиента (/₍₎ — начальный градиент фильтрации). При /> /₀ происходит сложное движение с постепенно увеличивающимся значением проницаемости горной породы (А), поскольку увеличение градиента определяет переход в подвижное состояние дополнительных количеств связанной воды. При /Ss /₍₎"^р (предельное значение начального градиента) все возможное количество связанной воды вовлекается в движе­ние и основной закон фильтрации может быть записан в виде (рис. 5.3)

n = A^/-|/₀j. (5.15)

По другим представлениям (И.А. Бриллинг, В.М. Гольдберг,

Н.П. Скворцов), фильтрация в тонкодисперсных породах проис­ходит при всех значениях напорного градиента (кривая проходит через начало координат, см. рис. 5.3, 5.4), однако в области очень

Рис. 5.3. Графические выражения ос- V ионного чакона фильтрации / — линейный чакон фильтрации Дар­си; 2 — двухчленный чакон с учетом нелинейности на верхнем пределе при­менимости; 3, 4 — чакон с учетом вяч- копластического течения на нижнем пределе применимости

малых значений напорного гра­диента это движение не фикси­руется при современной технике лабораторных экспериментов.

Величина начального напорного градиента (/,*) определяет в этом случае только область наруше­ния линейного закона фильтра­ции (нижний предел применимости). При />/₀* фильтрация в тонкодисперсных породах подчиняется закону Дарси в его основ­ной форме.

По данным В.М. Гольдберга и Н.П. Скворнова. значение начального напор­ного градиента (/„) при фильтрации в глинах изменяется от долей единицы до 100 и более. Величина начального градиента зависит от многих причин: темпера­туры, минералогического состава породы, ее дисперсности, структуры порового пространства (пористость, проницаемость), минерализации и химическою состава фильтрующейся жидкости и др. Не исключается, например, что при температурах среды выше 80—9(ГС явление начального градиента может вообще отсутствовать.

Под миграцией подземных вод в гидрогеологии обычно понима­ют как собственное движение подземных вод, так и перенос веще­ства и тепла с подземными водами с учетом физико-химических процессов и теплообмена, в определенной! мере изменяющих мас­су растворенного вещества, а также температуру подземных вод и вмещающей среды (Шестаков, 1979; Гавич, 1988). В отличие от движения собственно подземных вод (фильтрация, влагоперенос) под миграцией будем понимать здесь только процессы переноса вещества и тепла с подземными водами (тепло- и массоперенос). В потоке подземных вод (в движущейся подземной воде) основ­ной формой миграции является так называемый конвективный перенос с частицами (потоком) фильтрующихся подземных вод. Скорость конвективного тепло- и массопереноса определяется действительной скоростью движения подземных вод (и), характе­ризующей скорость перемещения частиц воды в порах и трещинах горной породы. Основными физико-химическими процессами, осложняющими конвективный перенос, являются сорбция ве­ществ, переносимых водой, на поверхности минеральных частиц породы, растворение (переход в жидкую фазу) определенных ми­неральных соединений горных пород и теплообмен между под­земной водой и вмещающей средой.

Другим видом миграции является диффузионный перенос, опре­деляемый законом Фика и общим уравнением теплоотдачи:

^er'=°"^f!f ^<5|б)

ДА

Q_T = XF , (5.17)

^т Ы

где 0_У) — диффузионный поток вещества; D_M — коэффициент молекулярной диффузии в данной среде, м²/сут; F — площадь поперечного сечения потока; ЭC/dL — градиент концентрации; Qj — тепловой кондуктивный поток; X — коэффициент тепло­проводности, ккал/м • ч • град; dQ/dL — градиент температуры.

Значение коэффициента молекулярной диффузии в зависимости от типа среды изменяется в пределах от Ю^-4 м²/сут (свободная среда) до 10 ^х м²/сут в плотных глинах и аргиллитах; коэффициент теплопроводности в зависимости от типа горных пород от 0,15 до 3,5 ккал/м • ч • град (Шестаков, 1979). В связи с этим можно счи­тать, что в большинстве потоков подземных вод конвективный пе­ренос осуществляется со значительно большими скоростями, чем диффузионный. Только при фильтрации в весьма слабопроница­емых горных породах (К< 1(Н м/сут) или при малых значениях напорного градиента (/<0,0001) эти два вида тепло- и массопере- носа могут оказаться соизмеримыми.