Экзаменационный билет № 9

1. Линейные пространства. Базис. Размерность.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=razmernost-i-bazis-linyeinogo-prostranstva

Линейное пространство 

VV

 называется n-мерным, если в нем существует система из 

nn

линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число 

nn

 называется размерностью (числом измерений) линейного пространства 

VV

 и обозначается 

dimVdim⁡V

. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве 

VV

 найдется система, состоящая из 

nn

 линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: 

dimV=∞dim⁡V=∞

). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность 

nn

 линейно независимых векторов (базисных векторов).

2 Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса.

http://www.studfiles.ru/preview/5826382/page:8/

3. Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.

Пусть V – линейное пространство, f – билинейная форма, e и g – базисы V. Согласно полученным ранее формулам, имеем равенства , , , гдеP – матрица перехода. После элементарных преобразований получим равенство , из которого выводим формулу изменения матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Рассматривая матрицу квадратичной формы как матрицу симметричной билинейной формы, получаем, что матрица квадратичной формы изменяется по формуле  .

Аналогичным образом выводим формулу изменения матрицы полуторалинейной формы при изменении базиса  .

Экзаменационный билет № 10

1. Подпространства линейного пространства. Свойства. Сумма и пересечение подпростанств.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Пусть L и M - два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис  . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть  базис подпространства L и пусть  базис подпространства M. Покажем, что векторы

(6.1)

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства Fпредставляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

(6.2)

Тогда

(6.3)

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

(6.4)

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

(6.5)

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

(6.6)

или

(6.7)

Но векторы  являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и  . Тогда (6.2) примет вид:

(6.8)

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

(6.9)

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

(6.10)

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов   а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■