Экзаменационный билет № 5

1. Теорема о базисном миноре.

https://ru.wikiversity.org/wiki/Ранг_матрицы._Теорема_о_базисном_миноре._Теорема_о_ранге_матрицы

http://studopedia.ru/7_153849_bilet--ponyatie-ranga-matritsi-teorema-o-bazisnom-minore.html

Теорема о базисном миноре.Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы.

Доказательство.A_mxn = || a_ij ||_mxn Пусть k – порядок базисного минора. Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу.

1) Если базисные столбцы линейно зависимы, то столбцы базисного минора так же линейно зависимы => хотя бы один из столбцов линейно выражается через остальные, т.е.. является их линейной комбинацией => Δ = 0, что противоречит условию => базисные столбцы линейно независимы.

2) Зафиксируем произвольный столбец матрицы А, например   _. Покажем, что   линейно выражается через базисные столбы. Построим определитель

(1≤ l ≤n) (1≤ i ≤m)

Если i < k или l < k, то 

Рассмотрим случай i > k, l > k Тогда   как минор k+1– го порядка в матрице А. Обозначим А₁, …, А_k, A_k+1 алгебраические дополнения к последней строке   Эти величины не зависят от элементов i-ой строки. Кроме того A_k+1 = Δ ≠ 0. Разложим минор по последней строке. a_i1 A₁+…+ a_ik A_k + a_il Δ = 0

 l = 1, …, n ч.т.д.

Следствие 1. Пусть А_mxn Если Rg A < n, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство.Пусть Rg A = k < n, значит в матрице существует базисный минор порядка k. Не ограничиваясь общности будем считать, что _↓a₁, …, _↓a_k базисные. Т.к.. k < n, то ∃ _↓a_k+1. По теореме о базисном миноре столбец _↓a_k+1 выражается через базисные, т.е.. _↓a₁, …, _↓a_k, _↓a_k+1 – линейно зависимы => матрица содержит линейно зависимую подсистему => матрица линейно зависима.

Следствие 2.Пусть А – квадратная матрица. det A = 0 óстолбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство.Если столбцы линейно зависимы, то det A = 0. Пусть det A = 0, тогда Rg A < n, т.е.. число столбцов больше ранга => (из следствия 1) столбцы матрицы линейно зависимы.

2 Билинейные формы и их свойства.

http://www.studfiles.ru/preview/1719982/page:40/

Определение 11.1. Билинейной формой называется функция (отображение) f: V  V  R (или C), где V – произвольное векторное пространство, и для любых векторов x, y  V и любого числа λ  R (или C) выполняются соотношения

f(x + y, z) = f(x, y) + f(z, y),

f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),

f(λx, y) = λf(x, y),

f(x, λy) = λf(x, y).

Обозначим число, получаемое в результате отображения пары векторов x и y, как A(x, y) .

Определение 11.2. Билинейная форма A(x, y) называется симметрической, если для любых x, y  V выполняется: A(x, y) = A(y, x).

Определение 11.3. Билинейная форма A(x, y) называется кососимметрической, если для любых x, y  V выполняется: A(x, y) = –A(y, x).

Свойства билинейных форм

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной кососимметричной форм.

При выбранном базисе e₁, e₂, …, e_n в векторном пространстве V любая билинейная форма A однозначно определяется матрицей

A(е) =  ,

так, что для любых x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n, y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n;

A(x, y) = (x₁ x₂ … x_n)  , то есть

A(x, y) =  ,где А_ij = A(e_i, e_j). (1)

Вид (1) назовем общим видом билинейной формы в n-мерном векторном пространстве.

Замечание. Если билинейная форма A(x, y) симметрическая, то и матрица (A_ij) будет симметрической, то есть A_ij = A_ji для i, j = 1, 2, …, n. Если билинейная форма A(x, y) кососимметрическая, то и матрица (A_ij) будет кососимметрической, то есть A_ij = –A_ji для i, j = 1, 2, …, n.