Лекции / 06ExperAvtw

6Эксперименты с конечными автоматами

6.1Основные понятия

Эксперимент с инициальным конечным автоматом

V = (A; Q; B; '; Ã; q)

заключается в подаче на его вход слова ® 2 A¤ (в простых экспериментах) или последовательно нескольких слов из некоторого подмножества M множества A¤ (в кратных экспериментах) и наблюдении выходного слова ¯ 2 B¤ èëè

множества выходных слов. Кратные эксперименты предполагают, что имеется ¾кнопка возврата¿, позволяющая перед подачей очередного входного слова возвратить конечный автомат в исходное начальное состояние.

Длиной простого эксперимента называется длина входного слова ®: Длиной кратного эксперимента M называется наибольшая длина слова ® 2 M:

нечному автомату V = (A; Q; B; '; Ã; q) определяется парой (®; Ã(q; ®)):

Результат применения безусловного кратного эксперимента M; M µ A¤

к инициальному конечному автомату V = (A; Q; B; '; Ã; q) есть множество пар

¯

f(®; Ã(q; ®)) n ® 2 Mg:

Эксперименты проводятся с целью получения с наименьшими затратами времени информации об автомате, которая первоначально может быть задана не полностью. Например, может быть известно лишь множество возможных диаграмм Мура, которому принадлежит диаграмма Мура исследуемого конеч- ного автомата, или она может быть известна, но может быть неизвестным на- чальное состояние автомата.

Всякий эксперимент проводится, таким образом, относительно некоторого класса K конечных автоматов (например, для класса автоматов с заданной

диаграммой Мура и отличимыми начальными состояниями). Далее мы будем предполагать неопределенность лишь последнего вида, то есть в качестве класса K будем рассматривать класс [V] всех инициальных автоматов, различаю-

щихся выбором начального состояния q 2 Q некоторого конечного автомата

V = (A; Q; B; '; Ã).

Эксперимент E называется тестовым экспериментом для автомата Vq; Vq 2 K; относительно класса K = [V ] конечных автоматов, если результат его при-

менения к автомату Vq отличается от результата применения к любому другому автомату из класса [V ]:

Эксперимент E называется диагностическим для класса автоматов [V ]; åñëè

результаты его применения к различным автоматам этого класса различны (то есть если он является тестовым эксперимтом для любого автомата Vq 2 [V ]).

7

6.2 Отличимость состояний множествами

6.2.1 Классы состояний, неотличимых множеством

Пусть V = (A; Q; B; '; Ã) конечный автомат и M µ A¤: Состояния q1 è

q1 è q2 называются отличимыми множеством M: По отношению неотличи- мости множеством M множество Q состояний автомата разбивается на классы

эквивалентности, множество которых обозначается RV (M) = fQ1; : : : ; Qng:

6.2.2 Существование приведенного автомата, не имеющего простого тестового эксперимента

Покажем, что существует конечный автомат приведенного вида, имеющий для каждого одноэлементного множества M; jMj = 1: по крайней мере два

есть неотличимые одноэлементным множеством M = f®g:

Доказательство.

а) Рассмотрим автомат V = (A; Q; B; '; Ã); jAj ¸ 2; jQj ¸ 3; B ¸ 2 со следующими таблицами T'; TÃ

б) Покажем, что этот автомат является автоматом приведенного вида, . Действительно, состояния q1; q2; q3, отличимы словами длины 1:

Ã(q1; a1) =6 Ã(q2; a1); Ã(q1; a1) =6 Ã(q3; a1); Ã(q2; a2) =6 Ã(q3; a2);

каждое из q1; q2; q3 отличимо от состояний qi; i > 3 некоторым словом ® длины более n ¡ 4; ® 2 A¤; при котором выходное слово автомата с начальным состо-

янием q1; q2 èëè q3 не содержит символов b2 (для каждого из них такое слово найдется, в то же время при начальных состояниях qi; i > 3 выходное слово такой длины всегда содержит хотя бы одно вхождение символа b2); различные состояния q1; i > 3; отличимы друг от друга любым словом длины n ¡ 4:

8

в) Покажем, что найдутся хотя бы два начальных состояния q; q0, неотли- чимых заданным словом любой длины. Если ® = Λ; то такими состояниями

Таким образом, состояния q1 è q3 неотличимы. Теорема доказана.

Как следствие для рассмотренного в доказательстве теоремы автомата не существует и простой диагностический эксперимент.

Заметим, что условия теоремы не могут быть ослаблены: необходимость условий jQj ¸ 3; jBj ¸ 2 очевидна, а при jAj = 1 самое длинное из слов мини-

мальной длины, отличающих некоторые два состояния автомата приведенного вида, отличает друг от друга и любые другие состояния.

Следствие 6.1. Для любого натурального n ¸ 3 существует автомат

Vq ñ n попарно отличимыми состояниями такой, что отсутствует простой эксперимент, тестовый для Vq относительно класса [V ]:

Это утверждение является следствием теоремы 6.1: в качестве автомата Qq

можно взять автомат Vq3 из доказательства этой теоремы.

Как следствие получим отсутствие и диагностического эксперимента для класса [V ].

6.2.3Существование кратного диагностического эксперимента дли-

íû jQj ¡ 1

Покажем теперь возможность различения состояний автомата приведенного вида множествами, содержащими все слова определенной длины и оценим эту длину.

Теорема 6.2. (Мур) Состояния q1 è q2 автомата V = (A; Q; B; '; Ã) личимы тогда и только тогда, когда они неотличимы множеством

всех слов длины jQj ¡ 1.

Доказательство основано на двух леммах.

Лемма 6.1. Пусть V = (A; Q; B; '; Ã) конечный автомат, Λ пустое

слово, M µ A¤; Λ 2 M; AM = fa® n a 2 A; ® 2 Mg: Тогда RV (M [ AM)

есть подразбиение разбиения RV (M) множества состояний по отношению неотличимости множеством M: Åñëè ïðè ýòîì RV (M [ AM) = RV (M); то разбиение RV (M) является разбиением множества Q на классы неотличи- мых состояний (любые два состояния, попадающие в один и тот же класс

разбиения RV (M) неотличимы):

Доказательство. Пусть RV (M) = fQ1; : : : Qmg è M0 = M [ AM: Ясно, что состояния, неотличимые множеством M0 тем более неотличимы множеством M;

9

поэтому RV (M0) есть подразбиение разбиения RV (M): Пусть RV (M) = RV (M0) (отношения неотличимости множествами M; M0 совпадают). Допустим, что су-

ществует k; k = 1; : : : m; такое, что Qk содержит два отличимых состояния q è q0: Ïðè ýòîì k; а также q è q0 выберем так, чтобы слово ® = a(1) : : : a(n);

отличающее такие состояния, имело наименьшую возможную длину n. Заметим, что n > 1; òàê êàê ïðè n = 1 слово ® = a(1) = a(1)Λ принадлежит

M0 = AM (напомним, что Λ 2 M) и, следовательно состояния q è q0

довательно q(1) è q0(1) принадлежат разным классам разбиения RV (M); òàê

как длина отличающего слова на единицу меньше наименьшей длины слова,0 отличающего состояния одного класса. Потому найдется слово ¯ = b(1) : : : b(n )

èç M; различающее состояния q(1) è q0(1); (но не отличающее состояния q è q0!) Но тогда слово ®0 = a(1)b(1) : : : b(n0) = a(1)¯; принадлежащее M0; отличит состояния q è q0 :

что невозможно, так как RV (M0) = RV (M): Таким образом состояния из каждого класса разбиения RV (M) неотличимы, и лемма доказана.

Лемма 6.2. Пусть V = fA; Q; B; '; Ãg конечный автомат,

M; jRV (M)j = m; jQj = n: Тогда любые два отличимые состояние та V

M [ AM [ A2M [ : : : [ An¡mM:

Доказательство. Допустим, что существуют два отличимые состояния q; q0

автомата V; неотличиммые множеством Mn = M [AM [A2M [: : :[An¡mM: Они неотличимы любым из множеств Mi = M [ AM [ : : : [ AiM; i = 0; 1; : : : ; n ¡ m;

и попадают в один и тот же класс разбиения RV (Mi): Как видим, по Лем-

ме 1 разбиения RV (Mi); i = 0; 1; : : : n ¡ m; (M0 = M) различны, а так как

каждое последующее является подразбиением предыдущего, число классов в каждом из последующих не менее, чем на единицу больше, чем в предыдущем. Учитывая, что jRV (M0)j = m; получим, что jRV (Mi)j ¸ m + i; òî åñòü

RV (Mn¡m) ¸ m + n ¡ m = n: Получается, что классы из RV (Mn¡m) содержат точно по одному элементу и состояния q è q0 не могут входить в один и тот

же класс разбиения RV (Mn¡m); то есть они отличаются этим множеством, что противоречит допущению. Лемма доказана.

10

6.2.4 Доказательство теоремы 6.2

Полагая M = fΛg и учитывая. что jRV (fΛg)j = 1 по лемме 6.2 получим, что любые два отличимые состояния отличимы множеством

fΛg [ AfΛg [ A2fΛg : : : [ An¡1fΛg = fΛg [ A [ A2 : : : [ An¡1:

Учитывая, что пустое слово Λ не отличает никакие два состояния, получим, что любые два отличимые состояния отличимы множеством

Следовательно, состояния, неотличимые этим множеством являются неотличимыми состояниями автомата. i

Далее, состояния, отличимые множеством A ; i = 1; 2; :::; n ¡ 2; отличимы множеством An¡1 и, следовательно, этим множеством отличимы состояния, отличимые множеством (??).

6.2.5 Об окончательности оценки длины кратного эксперимента

В общем случае оценка jQj¡1 длины слов, отличаюших состояния автомата V; не может быть уменьшена. Это подтверждается примером автомата Мура, заданного следующей (совмещенной) таблицей T'Ã

6.2.6О длине кратного эксперимента, отличающего два заданных состояния разных автоматов

можно задать также на парах (q,q') состояний автоматов V; V 0: Эти состояния

¯ ¯0 0

неотличимы, если 8® 2 M Ã(q; ®) = Ã (q ; ®):

Следствие 6.2. Åñëè V конечный автомат приведенного вида, имеющий n состояний, то для [V ] существует кратный безусловный диагностический эксперимент длины n ¡ 1:

Следствие 6.3. Åñëè V конечный автомат приведенного вида, имеющий

n состояний, то для Vq существует кратный безусловный тестовый эксперимент относительно V длины n ¡ 1:

11

Эти утверждения является следствием теоремы 6.2: в качестве эксперимента в этих утверждениях достаточно взять множество всех слов длины n ¡ 1

в алфавите A; рассмотренный пример автомата Мура показывает, что в этих

утверждениях оценка длины эксперимента, вообще говоря, не может быть понижена. 0 0

Теорема 6.3. Состояния q è q автоматов Vq è Vq0 только тогда, когда они неотличимы множеством AjQj+jQ0j¡1:

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Q \ Q0 = ;:

Рассмотренная проблема неотличимости состояний двух автоматов сводится к проблеме неотличимости состояний одного0 автомата, а именно автомата

V ” = (A; Q [ Q ; B; '”; Ô);

Применяя Теорему 6.2 завершаем доказательство.

6.3 Упражнение

6.1 Постройте диагностические эксперименты для конечных автоматов, построенных в упражнениях 1.1 и 1.2.

Контрольные вопросы

1) В чем заключаются простой и кратный эксперименты с конечным автоматом?

2) В чем различие тестового и диагностического экспериментов с конечным автоматом?

3) Покажите, что рассмотренный в разделе 6.2.2 автомат не имеет простого тестового эксперимента. 0

4) Почему элементы класса состояний,не отличимых множеством M ; íå ðàç-

личимы одно-элементными словами?

5) Покажите, что длина кратного тестового эксперимента для автомата, рассмотренного в разделе ?? не может быть менее n ¡ 1:

6) Какова оценка длины кратного эксперимента, отличающего любые два состояния двух автоматов. Отличаются ли при этом отличимые состояния каждого автомата?

12