Лекции / 05EquivAvtw

5 Эквивалентность конечных автоматов. Минимизация конечных автоматов

5.1 Эквивалентность конечных автоматов

Для сравнения поведений конечных автоматов как преобразователей входных последовательностей изучим ряд отношений эквивалентности на множестве автоматов и их состояний.

5.1.1 Отличимость и неотличимость состояний автоматов

® или что это слово отличает эти состояния.

5.1.2Отношение эквивалентности на множестве состояний автомата. Автоматы привед¼нного вида

Ïðè V = V 0 имеем отношения отличимости и неотличимости на множестве состояний автомата V: Неотличимость состояний q è q0 обозначают

q » q0:

Отношение неотличимости » является отношением эквивалентности и разбивает множество Q состояний автомата на классы эквивалентности

[q]» = fq0 n q » q0g

попарно неотличимых состояний. Таким образом,

Q = Q1 [ Q2 [ : : : [ Qi : : : [ Qs;

ãäå

Qi = [qi]»; i 6= j ! Qi \ Qj = ; èëèQi = Qj:

Если любые два состояния автомата отличимы, то автомат называется автоматом приведенного вида. В этом случае классы эквивалентности одноэлементные:

[q]» = fqg:

7

5.1.3 Отношение эквивалентности на множестве автоматов

Пусть для любого состояния q автомата V существует неотличимое от q существует со-

стояние q автомата V неотличимое от состояния q0. Тогда автоматы V è V 0 íàçû-

ваются неотличимыми, поскольку их нельзя различить по внешним реакциям на одно и то же входное слово. Неотличимость автоматов V è V 0 обозначается

V¼ V 0

èявляется отношением эквивалентности, которое разбивает класс K(A; B) всех конечных автоматов вида (A; Q; B; '; Ã); ãäå Q конечное подмножество некоторого фиксированного счетного множества U; на классы неотличимых автоматов. Класс эквивалентности, содержащий данный автомат V; обозначается

KV (A; B) : KV (A; B) = fV 0; V ¼ V 0g:

5.1.4 Изоморфизм конечных автоматов

Конечные автоматы V = (A; Q; B; '; Ã) è V 0 = (A; Q0; B; '0Ã0) называются изоморфными, если существует биекция » : Q ! Q0; при которой выполняются следующие соотношения:

»('(q; a)) = '0(»(q); a); Ã(q; a) = Ã0(»(q); a):

Очевидно, что изоморфные автоматы неотличимы, нетрудно привести примеры неизоморфных неотличимых автоматов.

5.1.5 Теорема Мура

Теорема 5.1 (Мур, 1956.) Пусть A è B конечные множества и V 2 K(A; B): Тогда класс KV (A; B) содержит с точностью до изоморфизма един-

ственный автомат приведенного вида.

Доказательство. Сначала покажем, что в указанном классе имеется автомат V 0 приведенного вида, а затем, что любой другой автомат V 00 приведенного

вида из этого класса изоморфен автомату V 0:

Пусть V = (A; Q; B; '; Ã) и множество Q разбито на классы

Q1; : : : ; Qn0

попарно неотличимых состояний. Рассмотрим два состояния q è q0 из некоторого

класса Qi; i 2 f1; : : : ; n0g и элемент a 2 A: Åñëè '(q; a) 2 Qj è '(q0; a) 2 Qj0; òî

j = j0; поскольку в противном случае найдется слово ®; ® 2 A¤; для которого

(Слово, отличающее состояния '(q; a) 2 Qj è '(q0; a) 2 Qj0). Но в этом случае (j =6 j0) слово a® будет отличать состояния q; q0 из одного и того же класса

неотличимости.

8

Теперь можно определить функцию

'0 : fQ1; : : : Qn0g £ A ! fQ1; : : : ; Qn0g

Поэтому однозначно определяется и функция

Ã0 : fQ1; : : : ; Qn0g £ A ! B;

другой автомат приведенного вида из класса KV (A; B): Покажем, что он изоморфен автомату V 0:

9

Каждому состоянию Qi автомата V 0 соответствует единственное (в силу то- го, что автомат V 00 является автоматом привед¼нного вида) неотличимое со-

стояние Qj автомата V 00 и наоборот, каждому состоянию Qj автомата V 00 ñî- ответствует единственное неотличимое состояние Qi автомата V 0: Указанное соответствие » влечет равенство чисел состояний (n0 = n00) и является биекцией

» :

Qj = »(Qi); Qi = »¡1(Qj):

Òàê êàê Qi è »(Qi) неотличимы, то для любого a 2 A неотличимы также состояния '0(Qi; a) è '00(»(Qi); a) автоматов V 0 è V 00: Это означает, что

»('0(Qi; a)) = '00(»(Qi); a):

вытекает из неотличимости состояний Qi; »(Qi): Таким образом, автоматы V 0 è V 00 изоморфны. Теорема доказана.

5.2 Минимизация конечных автоматов

5.2.1 Разбиения, согласованные по выходу

Пусть ¼ = fQi; : : : Qsg некоторое разбиение множества состояний автомата

V = (A; Q; B; '; Ã):

5.2.2 Разбиения, согласованные по перходам

Разбиение ¼ называется допустимым (согласованным по переходам), если для

любых X 2 ¼; a 2 A найдется такое подмножество Ya 2 ¼; ÷òî '(X; a) µ Ya:

Здесь '(X; a) = fq0 n q = '(q; a); q 2 Xg:

5.2.3 Теоремы о разбиениях на классы неотличимых состояний

Теорема 5.2. Разбиение множества Q состояний конечного автомата на

классы неотличимых состояний является разбиением, согласованным по выходам и переходам, содержащим наименьшее число подмножеств, и наоборот, разбиение обладающее указанными свойствами и состоящее из наименьшего числа подмножеств, является разбиением на классы неотличимых состояний.

10

Теорема 5.3. Разбиение множества Q на классы неотличимых состояний

является подразбиением разбиения, согласованного по выходу, содержащего наименьшее число классов

5.2.4 Алгоритм разбиения на классы эквивалентных состояний

Алгоритм разбиения множества Q состояний автомата на классы неот-

личимых состояний можно описать следующим образом.

1)Построить разбиение на наименьшее число множеств, согласованное по выходу (элементы разбиения включают состояния, которым в таблице выходов соответствуют одинаковые столбцы.)

2) Пусть ¼ = fX1; : : : ; Xsg разбиение, полученное на предыдущем шаге.

Построить таблицу переходов для классов разбиения. Строки такой таблицы соответствуют элементам a 2 A; столбцы элементам множества состояний Q

Xij таблицы есть то подмножество разбиения, которому принадлежит '(qj; ai): Подмножества нового разбиения соответствуют одинаковым

столбцам этой таблицы, соответствующих элементам некоторого подмножества предыдущего разбиения.

3) Если полученное в п.2 разбиение не совпало с предыдущим, то перейти к ï.2,4) Конец.

5.2.5 Алгоритм построения автомата привед¼нного вида

Рассматривая классы эквивалентности, полученные по рассмотренному алгоритму, как состояния привед¼нного автомата, можно построить для него таблицы перходов и выходов.

5.3 Пример

Пусть функции '; Ã автомата

V = (fa1; a2g; fq1; q2; q3; q4; q5; q6g; fb1; b2g; '; Ã)

заданы следующими таблицами переходов и выходов:

5.3.1 Разбиение на классы эквивалентных состояний

По таблице выходов получаем разбиение, согласованное по выходам:

¼0 = ffq1; q2; q4g; fq3; q5; q6gg = fX10; X20g:

11

Составим таблицу T¼0 переходов для классов разбиения ¼0:

По этой таблице найдем подразбиение

¼1 = ffq1; q2g; fq4g; fq3; q5; q6gg = fX11; X21; X31g

Таблица T¼1 переходов для классов разбиения ¼1 имеет вид

Разбиение ¼2; соответствующее этой таблице следующее:

¼2 = ffq1; q2g; fq3g; fq4g; fq5; q6gg = fX12; X22; X32; X42g:

Ему соответствует таблица T¼2

Разбиение ¼3; соответствующее таблице T¼3 совпадает с разбиением ¼2:

5.3.2 Построение привед¼нного автомата

Рассматривая подмножества полученного разбиения как состояния

q10 ; q20 ; q30 ; q40

Замечание. Элементы таблиц определяются следующим0 образом:

T'0(i; j) = ['(qs; ai)]¼ = [T'(i; s)]¼ для любого qs 2 qj: TÃ0(i; j) = Ã(qs; ai) = TÃ(i; s) для любого qs 2 qj0 :

5.4Упражнения

5.1.Убедитесь, что конечные автоматы, построенные в упражнениях 1.1 и 1.2, являются автоматами приведенного вида.

5.2.Минимизируйте автомат, построенный в упражнении 1.3.

5.3.Определите для каждой пары состояний автомата привед¼нного вида, построенного в п. 5.2.2, отличающие эти состояния слова минимальной длины.

12