18. Линейные однородные ду n-ного порядка
Уравнение вида b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x), где b0 (x) ≠ 0, b1 (x), … , bn (x), g (x) – заданные функции (от x), называются линейным ДУ n-го порядка.
Если
свободный член g (x) 
0,
то это уравнение называется линейным
однородным уравнением; если g (x) ≠ 0, то
уравнение
b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x) называется неоднородным.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид y(n) + a1 (x) · y(n – 1) + a2 (x) · y(n – 2) + … + an (x) · y = 0.
Если функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), … , yn = yn (x) являются частными решениями этого уравнения, то его решением является функция y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn .
19. Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений n- ного порядка
Если 
–
решение дифференциального уравнения
,
а 
–
решение уравнения
,
то
функция 
является
решением уравнения
.
(6.5)
Доказательство. Подставив
функцию в уравнение (6.5), получим 
.
Это равенство является тождеством, так как
и 
.
20. Метод вариации произвольных постоянных.
21. Двойные и тройные интегралы
|
Вычисление двойного интеграла. Если
Вычисление
тройного интеграла.
Пусть 22. Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы. Пусть L — кривая в R 2 , заданная параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t ∈ [t0,t1], и ω = Adx + B dy — 1-форма. Величина Z t1 t0 ω|L = Z t1 t0 A(x(t),y(t))dx dt + B(x(t),y(t))dy dt dt (75) называется криволинейным интегралом формы ω вдоль кривой L. Поверхностные интегралы. Пусть S — ориентируемая поверхность в R 3 , заданная параметрическими уравнениями x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) ∈ Ω ⊂ R 2 , где Ω — некоторая область в R 2 , и ω = Adxdy + B dxdz + C dydz — 2-форма. Величина ZZ Ω ω|S = ZZ Ω A(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∆xy+ + B(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∆xz + C(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∆yz dudv, (82) где ∆xy, ∆xz и ∆yz — определители соответственно, называется поверхностным интегралом формы ω вдоль поверхности S. |
,
где - 
непрерывные на 
функции,
то двойной интеграл может быть вычислен
двумя последовательными интегрированиями: 
.
Аналогично, если 
,
то 
.
является
цилиндрическим телом, проекция которого
на плоскость 
есть
область 
и
которое ограничено снизу поверхностью 
,
а сверху v поверхностью 
,
где 
-
непрерывные функции в . Тогда 
,
то есть интегрированием по z тройной
интеграл сводится к двойному интегралу
по области
.
Для областей более сложной формы
вычисление двойных и тройных интегралов
производится разбиением областей на
конечное число простых областей с уже
рассмотренными свойствами.