13. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.

14. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du (x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой u(x,y)=C,где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:∂Q∂x=∂P∂y.

15. Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение видаy=xφ(y′)+ψ(y′),где φ(y′) и ψ(y′) − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа. Полагая y′=p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме:{x=f(p,C)y=f(p,C)φ(p)+ψ(p)при условии, чтоφ(p)−p≠0,где p − параметр. Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие φ(p)−p≠0. Особое решение определяется функциейy=φ(c)x+ψ(c),где c − корень уравнения φ(p)−p=0.

Уравнение Клеро

Уравнение Клеро имеет вид:y=xy′+ψ(y′),где ψ(y′) − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y′)=y′. Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражениемy=Cx+ψ(C),в котором C − произвольная постоянная. Также как и уравнение Лагранжа, уравнение Клеро может иметь особое решение, которое выражает в параметрической форме:{x=−ψ′(p)y=xp+ψ(p),где p − параметр.

16. Уравнения высших порядков, допускающий понижение порядка

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у^'=р(х). Тогда у^''=p^'(x) и получаем ДУ первого порядка: p^'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y^'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy^'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y^''=ƒ(х), получаем: y^'= или y^'=j1 (x)+с₁. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения: