1. Определенный интеграл

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где  ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

2. Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigl .}\Phi (x){\Bigl |}_{a}^{b}}

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

3. Замена переменных и нахождение по частям определенных интегралов

Пусть функция   непрерывна на отрезке  .

Если:

1) функция   и ее производная  непрерывны при  ;

2) множеством значений функции  при   является отрезок  ;

3)  ,  , то справедлива формула

. (4)

Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

4. Основные понятия числовых рядов, ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Основные понятия числовых рядов

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел:

U₁, U₂, ... , U_n, ... (1).

Составленный их этих чисел символ (формальное выражение)

U₁+U₂+ ... + U_n+ ... (2).

называется бесконечным чиловым рядом (или просто рядом). Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

 (2а),

заменяет слово “сумма”, а индексы внизу и вверху означают, что нужно взять сумму чисел Uгде символ _n. (Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же с какого - либо натурального числа, большего единицы)., когда n пробегает все целочисленные значения от 1 до

Числа U₁, U₂, ... , U_n, ... называются членами ряда, а член ряда, стоящий на n-ом месте от начала, - его общим членом.

Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле   . Найдем предел этой суммы:

 .

Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Теорема.

Если ряд   сходится, то его общий член   стремится к нулю, т.е.   .

 

Пусть ряд   сходится и   . Тогда и   . Учитывая, что   при n>1, получаем:

 .

5. Достаточные признаки сходимости рядов. Признак сравнения рядов

6. Достаточные признаки сходимости рядов. Признак Даламбера

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нуж 7. Достаточные признаки сходимости рядов. Радикальный признак Коши. но использовать предельный признак сравнения.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать».