4.2 Статистический анализ выборочной дисперсии
D* |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
||
n |
|
2 |
1 |
|
|
xi |
m |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
n |
|
|||
1 |
|
|
|
||
n |
m 2 . |
|
x2 |
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
Оценка выборочной дисперсии является состоятельной, так как первое слагаемое при увеличении объема выборки n стремится к матожиданию квадрата , а второе - к квадрату математического ожидания, следовательно, D* стремится по вероятности к D :
M
D
M[X 2
] m 2
; M
D
D
n
n
Оценка выборочной дисперсии является смещённой :
D* |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
||
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 2 |
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
||||
i |
n |
|
|
|
|
n |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x 2 |
2 |
x |
x |
|
. |
|
||
|
|
j |
|
||||||
|
|
|
|||||||
i |
n 2 |
i |
|
i |
|
|
|
||
1 |
1 |
i |
j |
|
|
|
|
||
Математическое ожидание выборочной дисперсии D* найдём, используя свой-ство дисперсии:
|
|
|
|
|
D X |
C |
D X . |
|
|
|
|
|
|||
Для этого в полученном выражении из каждого |
xi вычтем математическое |
|
|||||||||||||
ожидание m, т.е. используем подстановку C |
m . Принимая во внимание, что |
|
|||||||||||||
M X m |
|
0 , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
n |
2 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||
M D* |
Mx i m |
2M(x i |
m)(x j |
m) ; M D * |
D . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
n 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
i j |
|
|
n |
|
||||||||
Оценка выборочной дисперсии оказывается смещенной, и, как следует из по-лученного выражения, она занижена. Если n не велико, то используют т.н. ис-
|
~ |
n |
|
||
правленную оценку: |
D |
|
D . |
|
|
n 1 |
|
||||