1.21.Логарифмически нормальное распределение
Плотность вероятности наработки до отказа:
,
где
;
-
параметр масштаба (медиана);
- параметр формы;
Функция распределения времени наработки до отказа:
,
где
- функция Лапласа.
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Среднее время наработки до отказа T:
;
Дисперсия D:
;
Коэффициент асимметрии Sk:
;
Коэффициент островершинности Ex:
;
Мода:
;
Медиана:
;
Начальные моменты:
Центральные моменты:
Точки перегиба функции плотности распределения :
;
1.22.Усеченное нормальное распределение
Усечение слева
Плотность распределения вероятности:
,
где
- левая граница области возможных
значений случайной величины (левая
точка усечения);
- параметр положения;
-
параметр масштаба (
)
и
.
Число
,
равное вероятности того, что исходная
(неусеченная) случайная величина окажется
вне интервала (
),
называется степенью
усечения.
Функция распределения:
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Математическое ожидание:
Где
– плотность вероятности стандартного
нормального распределения;
– стандартизированная (центрированная,
нормированная) точка усечения.
Дисперсия:
.
Коэффициент
асимметрии
:
Коэффициент
островершинности
:
Мода:
Медиана:
Медиана
является корнем уравнения:
;
Начальные моменты:
Центральные моменты:
Усечение справа
Плотность распределения вероятности:
,
где
- правая граница области возможных
значений случайной величины (правая
точка усечения);
- параметр положения;
-
параметр масштаба
и
.
Число
,
равное вероятности того, что исходная
(неусеченная) случайная величина окажется
вне интервала
,
называется степенью
усечения.
Функция распределения:
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Математическое ожидание:
Где
– плотность вероятности стандартного
нормального распределения;
– стандартизированная (центрированная,
нормированная) точка усечения.
Дисперсия:
.
Коэффициент асимметрии :
Коэффициент островершинности :
Мода:
Медиана:
Медиана является корнем уравнения:
;
Начальные моменты:
Центральные моменты:
1.23.Распределение Стьюдента (t-распределение)
Плотность распределения вероятности:
,
Где ;
-
параметр формы, число степеней свободы.
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Математическое ожидание T:
;
Дисперсия D:
;
Коэффициент асимметрии Sk:
;
Коэффициент островершинности Ex:
;
Мода:
;
Медиана:
;
Начальные моменты:
1.24.Равномерное (прямоугольное) распределение
Плотность распределения вероятности:
,
где
- границы интервала возможных значений
случайной величины.
- параметр положения.
-
параметр масштаба.
Функция распределения вероятности:
;
Интенсивность отказов (функция «риска»):
;
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Среднее время наработки до отказа T:
;
Дисперсия D:
;
Коэффициент асимметрии Sk:
;
Коэффициент островершинности Ex:
;
Мода: нет.
Медиана:
;
Начальные моменты:
Центральные моменты:
1.25.Сводка распределений и область их применения
Распределение |
Применение |
Примеры |
Примечание |
Нормальное |
Основное распределение математической статистики. Многие применения обусловлены центральной предельной теоремой (распределение среднего n наблюдений стремится к нормальному независимо от формы исходного распределения при довольно общих условиях). Вследствие этого нормальное распределение является приемлемой моделью для многих (но не всех физических явлений) |
Распределение физических свойств живых организмов, значений коэффициента умственного развития, размеров изделия, средней температуры и т.д. |
Имеются таблицы значений интегральной функции нормированного нормального распределения. Многие методы статистического анализа основаны на допущения о нормальном распределении. |
Гамма-распределение |
Основное
распределение математической статистики
для случайных величин, ограниченных
с одной стороны, например
|
Распределение времени между повторными калибровками прибора, требующего повторной после пользования им k раз; распределение времени между моментами пополнения запасов; распределение времени безотказной работы системы с резервными компонентами. |
Имеются таблицы значений интегральной функции распределения. Частными случаями являются распределения: Эрланга, экспоненциальное и хи-квадрат. |
Экспоненциальное |
Распределение времени между независимыми событиями, появляющимися с постоянной интенсивностью. Распределение времени безотказной работы при постоянной интенсивности отказов. Вследствие этого широко применяется во многих (но не во всех) задачах теории надежности. |
Распределение времени между моментами поступления частиц в счетчик. Кроме того, распределение времени безотказной работы сложных нерезервированных систем и времени использования некоторых компонентов, в частности, когда они подвергаются начальной приработке, а профилактическое обслуживание позволяет заменять детали до полного износа. |
Частный случай распределения Вейбулла и гамма-распределения. |
Бета-распределение |
Основное
распределение математической статистики
для случайных величин, ограниченных
с обеих сторон, например
|
Распределение доли совокупности, заключенной между наименьшим и наибольшим значениями выборки. Распределение суточного производства продукции на промышленном предприятии. Распределение времени, оставшегося до завершения работы (система ПЕРТ). |
Имеются таблицы значений интегральной функции распределения. Частными случаями являются равномерное, треугольное и параболическое распределения. |
Равномерное |
Дает вероятность того, что наблюдение будет лежать в определенном интервале, когда вероятность того, что наблюдение принадлежит данному интервалу, прямо пропорциональна длине интервала. |
Используется для генерирования случайных чисел. |
Частных случай бета-распределения. |
Логарифмически нормальное |
Позволяет описать случайные величины, логарифм которых распределен по нормальному закону. Модель для процесса, появляющегося в результате большого числа небольших мультипликативных ошибок. Применимо, когда наблюдаемое значение случайной величины составляет случайную долю ранее наблюденного значения. |
Распределение размеров кусков породы при ее дроблении. Распределение размера дохода, размера наследства и суммы банковских вкладов. Распределение различных биологических явлений. Распределение времени безотказной работы транзисторов некоторых типов. |
|
Релеевское |
Распределение радиальной ошибки, когда ошибки по двум взаимно перпендикулярным осям взаимно независимы и нормально распределены относительно нуля с одинаковыми дисперсиями. |
Задачи прицеливания при бомбометании. Амплитуда огибающей шума при использовании линейного детектора. |
Частный случай распределения Вейбулла. |
Распределение Коши |
Распределение отношения двух независимых нормированных нормальных случайных величин. |
Распределение
отношения нормированных отсчетов
шума. Распределение
|
Распределение не имеет конечных моментов. |
Распределение Вейбулла |
Общее распределение времени безотказной работы при самых разнообразных интенсивностях отказов. Распределение экстремальных значений для минимальных элементов, взятых из N значений, имеющих распределение, ограниченное слева. |
Распределение времени безотказной работы для некоторых конденсаторов, шариковых подшипников, реле и т.д. |
Частными случаями являются релеевское и экспоненциальное распределения. |
Распределение экстремальных значений. |
Предельная модель для распределения максимальных или минимальных значений, взятых из N наблюдений, имеющих распределение «типа экспоненты», например, нормальное, гамма-распределение или экспоненциальное. |
Распределение прочности на разрыв для некоторых материалов: распределение напряжения пробоя конденсаторов; распределение силы порывов ветра, встречаемых самолетами; распределение времени вымирания бактерий. |
Имеются таблицы значений интегральной функции распределения. |
.
Описывает время, необходимое для
появления ровно k
независимых событий при условии
появлении событий с постоянной
интенсивностью. Часто используется
в теории массового обслуживания,
теории надежности и других технических
приложениях.
Применяется во многих областях при
решении как теоретических, так и
прикладных задач.
,
когда
имеет равномерное распределение.